【正文】 目前，非線性光學(xué)已成為光學(xué)學(xué)科中最為重要的分支學(xué)科之一。非線性光學(xué)研究是各類系統(tǒng)中非線性現(xiàn)象共同規(guī)律的一門交叉科學(xué)。并研討這些材料是否可以作為二波混合、四波混合、自發(fā)振蕩和相位反轉(zhuǎn)光放大器等、引言 第 3 頁（共 25 頁） 甚至空間光固子介質(zhì)等。此外還發(fā)現(xiàn)了許多三階非線性光學(xué)材料。例如： ① 利用各種非線性晶體做成電光開關(guān)和實(shí)現(xiàn)激光的調(diào)制。③ 利用光學(xué)參量振蕩實(shí)現(xiàn)激光頻率的調(diào)諧。 ④ 利用一些非線性光學(xué)效應(yīng)中輸出光束所具有的 位相 共軛特征，進(jìn)行光學(xué)信息處理、改善成像質(zhì)量和光束質(zhì)量。 ⑥ 利用各種非線性光學(xué)效應(yīng)，特別是共振非線性光學(xué)效應(yīng)及各種 瞬態(tài)相干光學(xué)效應(yīng) ，研究物質(zhì)的高激發(fā)態(tài)及高分辨率光譜以及物質(zhì)內(nèi)部能量和激發(fā)的轉(zhuǎn)移過程及其他弛豫過程等。它不僅開拓了數(shù)學(xué)物理的新的研究領(lǐng)域，而且還在許多高科技領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1]。在這年，英國的工程師 Scott Russell觀察 到一種奇特的自然現(xiàn)象，當(dāng)一艘快速行駛的船突然停下來，船頭出現(xiàn)一圓形平滑、輪廓分明的孤立波峰急速離去，滾滾向前，行進(jìn)中形狀和速度保持不變。有關(guān)孤立波的問題在當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家中引起了廣泛的爭論。 1895年 ,荷蘭著名數(shù)學(xué)家 Korteweg和他的學(xué)生 de Vries在研究淺水波的運(yùn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)出了單向運(yùn)動(dòng)的淺水波運(yùn)動(dòng)方程，即所謂的 KdV方程，并給出了與 Russell的觀察結(jié)果相一致的、具有形狀不變的孤立波解，這樣在理論上證實(shí)了孤立波的存在 [6,7]。 到河道中淺水波的長距離無形變的傳輸 [25]。直到 1965年，美國物理學(xué)家 Zabusky和 Kruskal用數(shù)值模擬方法詳細(xì)地非局域孤子的分裂 第 4 頁（共 25 頁） 分析了等離子體中孤立波碰撞的非線性相互作用過程，得到了完整和豐富的結(jié)果 [8]，證實(shí)了這類孤立波相互作用后不改變形狀。 Zabusky和 Kruskal的這項(xiàng)研究工作，是孤子理論發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。在以后的幾十年里 ，孤子理論研究工作更加蓬勃發(fā)展。 孤子是一種客觀存在的、具有波 粒二象性的，且能保持其形狀在時(shí)空傳輸中不變的特殊孤立波。就其波動(dòng)性而言，它是波長為無窮大的局域性行波，比平面波或正弦波 具有更低的能量，但它是由包括平面波在內(nèi)的線性波在非線性作用影響下畸變?yōu)榫钟虻牟▌?dòng)；這種孤立波的局域性表現(xiàn)在一個(gè)波動(dòng)寬度范圍內(nèi)集中了波動(dòng)的幾乎全部的能量和動(dòng)量，而在傳播或運(yùn)動(dòng)過程中，無窮遠(yuǎn)處的波動(dòng)趨于零或一個(gè)確定的常數(shù)，因此波的能量和動(dòng)量總是有限的，并且在運(yùn)動(dòng)中它們的能量和動(dòng)量又不會(huì)從這有限區(qū)域內(nèi)彌散開。色散即波的傳播速度依賴于波的頻率和波長，它導(dǎo)致波包散開，而非線性卻導(dǎo)致波陣面卷縮，孤立波 是 兩者共同作用的結(jié)果 。 孤子解是非線性偏微分方程的一類特殊解。從物理學(xué)的觀點(diǎn)看，孤子是能量有限的，并且在相互作用過程中是不彌散的波包，具有粒子的性質(zhì)。 1967年 ， C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal和 R. M. Miura（簡稱 GGKM）提出了逆散射法，解決了一大類孤子演化方程的求解問題。 1972年， V. E. Zakharov和 A. B. Shabat找到了非線性薛定諤方程的 Lax對，首次求出該方程的孤子解。此外，求解孤子演化方程的有力工具還有廣田 (Hirota)直接法， Painlev233。cklund變換法，守恒定律法 ,行波變換法 ,Darboux變換法等。入射光束越窄，被展寬越快。當(dāng)光束衍射和自聚焦效應(yīng)達(dá)到精確平衡時(shí)，光束便會(huì)自陷在很窄的空間寬度內(nèi)，稱之為空間光孤子（圖 (C)） [16]。 實(shí)線和虛線分別代表光束和相前的輪廓圖 。 1964 年， R. Y. Chiao, E. Garmire 和 C. H. Townes 提出在非線性 Kerr 介質(zhì)中，光束可能形成自陷，從而形成 (1+1)維的空間光孤子。在無自由電荷的介質(zhì)中 J =0， ? =0。 描述介質(zhì)中光波的傳輸方程可以由 Maxwell 方程得到。考慮單色電磁波形式 ? ?01 ?( , ) ( ) e x p ( )2E r t x E r iw t? ? ? （ ） 把式 ()代入方程 ()，可得 2200 ,E w u E?? ? ? （ ） 其中利用介電常數(shù) 200( 2 )n ig k???? ，折射率 0n n n? ?? ，這里 0n 為線性折射率， n?是折射率的變化量， g 是吸收系數(shù)。把電場寫成以下形式 ( ) [ ( , , ) e xp ( ) ]E r A x y z ik z?? (） 將（ ）代入（ ），我們可以忽略其二階偏倒數(shù) 22Az??（即在傍軸近似下），得 201 022A n gi A k A i Az k n???? ? ? ? ?? （ ） 非局域孤子的分裂 第 8 頁（共 25 頁） 方程 ()便是光束再介質(zhì)中傳輸?shù)囊话憷碚撃Ｐ汀? 圖 上兩圖分別是 （ 1+1） 和 (1+2)維空間孤子 我們知道空間光孤子是相對于空域而言的，也就是說光波在傳輸過程中其局域化是發(fā)生在空間上的，那么我們在研究的它的傳輸過程中就得考慮空間的幾維性。而我們考慮（ 1+2）維光束的傳輸時(shí)，方程（ ）中的算子 2?? 代表 2 2 2 2xy? ? ?? ? 。一種情況是在塊狀介質(zhì)中的光場分布如果其中一個(gè)方向（如 y 方向）上相同時(shí)，光場在這個(gè)方向是無限延伸的，此時(shí)光場將不依賴于這個(gè)方向（如 y 方向）；另一種情形是當(dāng)光束在平板波導(dǎo)中傳輸時(shí)，由于波導(dǎo)波導(dǎo)效應(yīng)光束只可能被局域化在兩個(gè)橫向方向（ x 和 y 方向）中的一個(gè)方向（如 x方向），這時(shí)將會(huì)出現(xiàn)（ 1+1）維空間光孤子。這里，我們稱（ m+1）維空間光束，是指光束在 m維上產(chǎn)生衍射，而在 1 維上傳輸。但是介質(zhì)的非線性效應(yīng)從本質(zhì)上說都是非局域性的，由非局域非線性引起的折射率的變化可以表示成 ( , ) ( ) ( , )n r z s R r r I r z d r???? ? ? ?? ? ?? （ ） 其中， 1( 1)ss?? ?? 對應(yīng)著聚焦的非線性（散焦的非線性），對稱的局域化的實(shí)函數(shù) ()Rr 是介質(zhì)的響應(yīng)函數(shù)，且 ( ) 1R r dr???? ??，其寬度決定了介質(zhì)的非局域 程度。 在方程 ()中響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的特征寬度決定了介質(zhì)對光場的非局域非線性響應(yīng)的程度，按照響應(yīng)函數(shù)的特征寬度相對于光束寬度的大小，非線性響應(yīng)可以分為四類：局域的、弱非局域的、一般非局域的和強(qiáng)非局域的 [1920]。 R（ x） 是介質(zhì)的響應(yīng)函數(shù) ， I（ x） 是光強(qiáng) 。 局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度相對于光束寬度可以忽略不計(jì)時(shí)，如圖 23(a)所示 ,響應(yīng)函數(shù)可以近似地表示成 ? 函數(shù)的形式，即 ( ) ( )R r x?? ，此時(shí)非線性響應(yīng)引起的折射率變化是一個(gè)關(guān)于光強(qiáng)的局域函數(shù) ( , ) ( )n r z sI r?? （ ） 從式 ()可以清楚地看出這種情況下的非線性響應(yīng)的特征：在某點(diǎn)由非線性響應(yīng)所引起的折射率的改變只單純的由該點(diǎn)的光場強(qiáng)度決定，與其它位置的光強(qiáng)無關(guān)。在這種情況下，方程 ()可以具體 的被寫成 2201 022A s k gi A A A i Az k n?? ? ? ? ? ?? （ ） 非局域孤子的分裂 第 10 頁（共 25 頁） 方程 ()通常被稱為局域的非線性薛定諤方程。 弱非局域的非線性響應(yīng) 弱非局域的非線性響應(yīng)出現(xiàn)在響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度慢慢增加但仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光束的寬度且不能忽略的情況。將 ( , )Ir z? 在點(diǎn) rr?? 泰勒展開 2 22( , ) 1 ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )2rr rrI r z I r zI r z I r z r r r rrr?? ??????? ? ?? ? ? ? ? ??? （ ） 將 ()代入方程 ()，并考慮到響應(yīng)函數(shù)的對稱性，可以獲得 22()( , ) ( ) Irn r z s I r r?????? ? ?????? （ ） 其中， 21 ()2 r R r dr? ????? ?，很明顯 ? 是很小的正的實(shí)參數(shù)，在這種情況下，方程 ()可以被具體地寫成 2222200()1 022 AA s k s k gi A A A A i Az k n n r???? ? ? ? ? ? ??? （ ） 方程 ()通常被稱為弱非局域非線性薛定諤方程。 強(qiáng)非局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)介質(zhì)呈現(xiàn)出強(qiáng)非局域的非線性響應(yīng)時(shí)，響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度將遠(yuǎn)大于光束寬度，此時(shí)在介質(zhì)中幾乎所有點(diǎn)的光場強(qiáng)度都會(huì)對某點(diǎn)折射率的改變有貢獻(xiàn)，如圖 13(d)所示。所以在強(qiáng)非局域非線性情況下，方程 ()可以具體表示成 220 1 201 ( ) 022A s k gi A c c r c r A i Az k n?? ? ? ? ? ? ? ?? （ ） 空間光孤子 第 11 頁（共 25 頁） 方程 ()常被稱為強(qiáng)非局域非線性薛 定諤方程。 一般非局域的非線性響應(yīng) 當(dāng)響應(yīng)函數(shù) ()Rr 的寬度和光束寬度可比擬或相差不多或相比并不懸殊時(shí)，光場引起的某點(diǎn)的折射率的改變將與以該點(diǎn)為中心的一個(gè)相當(dāng)大范圍內(nèi)的各點(diǎn)的光強(qiáng)有關(guān)，這種非局域非線性響應(yīng)被稱為一般非局域的非線性響應(yīng)。 從物理機(jī)制上說，介質(zhì)對光束的非局域非線性響應(yīng)與某種輸運(yùn)過程有關(guān)。不同的輸運(yùn)過程會(huì)導(dǎo)致不同類型的非局域非線性響應(yīng)，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為在方程 ()中響 應(yīng)函數(shù) ()Rr 可以取相應(yīng)的不同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。其中最重要的原因是因?yàn)槟壳霸诩夹g(shù)上制作這些光格子已經(jīng)不再是一個(gè)困難，目前所報(bào)道的制作光格子的主要方法是通過光學(xué)誘導(dǎo)和摻雜等辦法 [1617]。 首先，在技術(shù)上看，人們已經(jīng)可以利用多種比較成熟的技術(shù)手段 (諸如光學(xué)誘導(dǎo)、摻雜和蝕刻等辦法 )來制作光格子和波導(dǎo)陣列。另外，這些折射率分布也可以通過向介質(zhì)中摻入一定濃度分布的雜質(zhì)來實(shí)現(xiàn)，即所謂的摻雜。這些研究主要通過構(gòu)建合適的線性折射率分布 (即光格子 )來實(shí)現(xiàn)各種控制目標(biāo)。這里我們將基于非局域非線性方程，討 論光束在具有光格子的非局域非線性介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)特性，從而利用這些特性探討實(shí)現(xiàn)光束有效控制的可能性。光強(qiáng) 2( , ) ( , )I x z q x z? ( , ) ( ) ( , )n x z R x x I x z d x???? ? ? ???? （ ） 實(shí)際上，局域的和對稱函數(shù) ()Rx滿足 ( ) 1R x dx???? ??響 應(yīng)函數(shù)的局域介質(zhì)，其特征長度決定了非局域性的程度。在這里我們考慮一類很重要的、并且是可應(yīng)用的情形，即具有非局域非線性、幾個(gè)呈現(xiàn)一種特殊的非局域非線性響應(yīng) ,他們的非線性響應(yīng)是指數(shù)函數(shù) 1()2xdR x ed?? （ ） 參數(shù) d 表示響應(yīng)函數(shù)的寬度 , 也表征了非局域介質(zhì)的特征長度 [2]，它刻畫一個(gè)非局域程度 的媒介 [13]。在這些情況下，方程 ()可以進(jìn)一步簡化成 222( , ) ( ) nn q x z D z x??? ? （ ） 非局域非線性介質(zhì)中傳輸和演化的數(shù)學(xué)模型 基于非局域非線性薛定諤方程 ()，我們來研究在非局域非線性介質(zhì)中利用光孤子分裂數(shù)值模擬結(jié)果 第 13 頁（共 25 頁） 格子來實(shí)現(xiàn)光學(xué)操控。在考慮橫向方向加了線性折射率調(diào)制后，我們可以得到方程 221 ( ) 02qqi n q p R x qzx??? ? ? ? （ ） 其中，參數(shù) p 表征格子的深度。一般說來，方程 ()描述光束在板狀的且在橫向方向上具有線性折射率調(diào)制的弱非局域 Kerr介 質(zhì)中的傳輸。當(dāng) 0d? ，方程 (1)被簡化成非局域非線性薛定諤方程；當(dāng) d?? 時(shí)對應(yīng)的是強(qiáng)局域狀態(tài)。 一般而言，當(dāng)具有指數(shù)響應(yīng)的非局域非線性介質(zhì)呈現(xiàn)出各種程度的非局域性時(shí)，光場在其中的傳輸都可以用方程 ()來描述。其中一個(gè)典型的例子是方程 ()可以描述電磁波在存在著恒定靜電場的向列型液晶中的傳播 [3,14,15,19] ，在這種情況下，參數(shù) n表示由于光場的入射導(dǎo)致的液晶分子相對于在靜電場下的方向的偏移； d是向列型液晶的彈性能與外 加靜電場能量的比值 [2022]，它描述介質(zhì)的非局域程度，特別值得注意地是，介質(zhì)的非局域程度 d可以通過調(diào)節(jié)外加靜電壓來改變，這樣液晶就可以表現(xiàn)出各種程度的非局域性