用輔助圓解題方法的研究畢業(yè)論文初-閱讀頁
2025-06-24 07:42本頁面
【正文】 (圖 2) 如圖 2，連 A1A A3A5， 則 A1A5=A1A A3A5=A1A3． 在四邊形 A1A3A4A5中，由托勒密定理，得 A3A4 A1A3＝ A1A4 A1A4＋ A1A2 A1A4， 兩邊同除以 A1A2 A1A4即得結(jié)論式． 由上面兩道題目可以看出托勒密定理在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中起到“橋梁”的作用，對(duì)于它的其它妙用，這里就不再一一羅列了。 例 1. 如果橢圓22:143xyC ??上存在關(guān)于直線 :4l y x m??對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求 m 的范圍 . 分析 利用變換 11,2 3x x y y????，則原命題轉(zhuǎn)換為構(gòu)造一個(gè)等價(jià)命 題 . 如果單位圓22:1C x y? ? ???上存在兩點(diǎn) ,AB??，使線段 AB??的中點(diǎn)在直線8: 33ml y x? ? ???上，且滿足43l ABkk? ? ?? ?? ，試求 m 的范圍 . 根據(jù)垂徑分弦及圓的中點(diǎn)在圓內(nèi)的特殊性確定的取值范圍 . 解 把 11,2 3x x y y????分 別代入方程 C 和 l 得到 ，單位圓 22:1C x y? ? ???，直線8: 33ml y x? ? ???. 橢圓 C 上關(guān)于直線 l 對(duì)稱的兩點(diǎn) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，分別對(duì)應(yīng)單位圓 C? 上兩 點(diǎn)1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y? ? ? ??? ， 因?yàn)? 1 2 1 21 ( ),2 2 2x x x x????? 1 2 1 21 ()223y y y y?????. 則橢圓 C 的弦 AB 的中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)單位圓 C? 的弦 AB?? 的中點(diǎn) M? . 又 因 為 AB ⊥ l ， 所以 11, 4AB l ABk k k? ? ? ? ? , 121212 122 2 2 1 13343 3 3 2 322A B A Byyyykkxx xx??? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ??? . 而 OM AB? ? ?? ，所以直線 OM? 的方程為 23yx??? .聯(lián)立方程組 2 3 ,8 .33yxmyx? ????? ?????? 解得 ,23.mxym? ?????????? 點(diǎn) ,32mMm??? ??????在圓 C? 內(nèi)，則 ? ?2 2312m m??? ? ? ????? . 解得 m 的取值范圍為 2213 13m? ? ? . 例 2. ( 3,2)A? 是橢圓221100 64xy??內(nèi)一點(diǎn)，過 A 作直線交橢圓于 ,BC兩點(diǎn)，當(dāng) A 為線段 BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線方程 . 解 作變換108xxyy??????? ???? ，則橢圓方程變?yōu)椋?221xy????， ( 3,2)A? 變?yōu)?31( , )10 4A? ? ，橢圓中心 O 與 ,BC相應(yīng)地變?yōu)?O? 與 ,BC??，此時(shí) A? 為 BC??的中點(diǎn) .根據(jù)圓的性質(zhì)：線段 BC??為垂直O(jiān)A??的弦 .因?yàn)? 56OAk ???? ， 所以 65BCk??? . 又所求直線經(jīng)過 31( , )10 4A? ? ，據(jù)點(diǎn)斜式得 BC??所在的直線方程為 1 6 34 5 10yx????? ? ?????. 作逆代換得 1 6 38 4 5 10 10yx??? ? ?????. 即 24 25 122 0xy? ? ?. 這就是 A 為 BC 中點(diǎn)時(shí)的直線方程 . 例 3. 橢圓22194xy??上一動(dòng)點(diǎn) Q 的切線分別交 x 軸、 y 軸于點(diǎn) R ， S ，過 R ， S 分別作垂直于 x 軸、 y 軸的直線，求此二垂線交點(diǎn) P 的軌跡方程 . 解 作變換32xxyy??????????? ，則橢圓變換為單位圓 221xy????.與點(diǎn) Q 對(duì)應(yīng)的 Q? 落在圓上，設(shè)其坐標(biāo)為 ? ?,ab ，則有 221ab??，并且知過 Q? 的圓的切線為 1ax by????.此切線與 x? 軸的交點(diǎn) R? 的橫坐標(biāo)是 1a ，與 y? 軸交點(diǎn) S? 的縱坐標(biāo)是 1b .設(shè) ( , )P x y? ? ? ，則 1,1.x ay b??????? ???? 從而 1,1.a xb y? ?? ???? ? ??? 又 221ab??， 所以 22111xy????. 作逆變換即得點(diǎn) P 的軌跡方程為 22941xy?? （四） 在物理學(xué)中的 探討 數(shù)學(xué)方法是研究物理學(xué)的一種基本方法，運(yùn)用圓的知識(shí)研究物理問題也是一種常用的數(shù)學(xué)方法 之一 ，若能根據(jù)題目特點(diǎn)引入輔助圓，往往對(duì)解題起到化繁為簡，化難為易的作用。 11 矢量圓 求最值時(shí)。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓 ”就能有 效地化繁為簡，并能加深對(duì)矢量概念的理解。要使船到達(dá)對(duì)岸的位移最短，船的航向如何？ 解析 水流速 u、船在靜水中的速度 v 與船的合速度 v1 構(gòu)成一矢量三角形，且船在靜水中的速度 v 大小不變，方向不定，構(gòu)建如圖 1 所示的矢量圓。由圖可得船的航向與河岸的夾角 uvarccos?? 。 點(diǎn)電荷的等勢面是以點(diǎn)電荷為圓心的圓面 組成，這樣的圓面稱之為“等勢圓”。 例 2 （ 2021 年江蘇等省理綜第 30題）如圖 6 所示，直角三角形的斜邊傾角為 30176。則：該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到非常挨近斜邊底端 C 點(diǎn)時(shí)速度 vc 為多少？沒斜面向下的加速度 ac 為多少？ 解析 點(diǎn)電荷沿斜面 AC 下滑時(shí)，電場力在不斷變化，無法利用動(dòng)能定理及能量守恒關(guān)系直接列式求解，從而使 解題陷入困境。 A B C O 。從課題的選擇到論文的最終完成， 寇 老師對(duì)學(xué)術(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和精益求精的精神，使我受益匪淺。老師為我們花費(fèi)了大量的心血，感謝他們耐心的幫助我修改論文，盡一切方便為我提供資料；感謝大學(xué)四年來所有的老師，為我們打下了數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)；感謝長達(dá)半個(gè)學(xué)期中各位同學(xué)對(duì)我的無私幫助
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