華中科技大學貝塞爾函數(shù)-閱讀頁
2025-06-02 17:50本頁面
【正文】 ) ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) 得到方程 (12)的另外一個 特解 ，記作 )(xJ n?,nn ?? )(xJn稱為 階 第一類貝塞爾函數(shù) 。 (20) 稱為 階 第一類貝塞爾函數(shù) 。 24 ?????0)(kksk xaxy),0( 0 ?a (13) ),3,2(0])[( 222 ? ????? ? kaanks kk(16) n nss 221 ??,1 ns ?情形 2 如果 為整數(shù) (包括 0)， 則 也為整數(shù)。 26 n ,N)1(,2,1,0 ?? Nm ? 11 ??????? mNmn)1( ???? mN,)1(!2)1()( 22???????? ??????NmmNmNmN mNmxxJ事實上， 我們不妨設 為某正整數(shù) 當 時， 將是 ,)!(!2)1()(022???????? m mnmnmn mnmxxJ (23) ,)1(!2)1()(022???????? ??????mmnmnmn mnmxxJ (19) 負整數(shù)與 0， 對于這些值 為無窮大， 所以 ??????? ?????022)1()!(2)1()( k kNkNkNN kkNxxJ),2,1,0(, ? ??? kkNm令 得 27 ,)!(!2)1()(022???????? m mnmnmn mnmxxJ (23) ??????? ???022)!(!2)1()( k kNkNkNN kNkxxJ則化簡得 ????????? 0 22)!(!2)1()1( k kNkNkNkNkx).()1( xJNN??)(xJn)(xJ n? )(xJn與 )0( ?nn當 為 整數(shù) 時是 這就說明了 線性相關 的。 28 ,s i n )(c os)(l i m)(l i m)( ???? ?????xJxJxYxYnnn??????n而當 為整數(shù) 時， ? 不為整數(shù) 。 顯然 是 特解 。 DC ,其中 為任意實數(shù)， ),()()( xJxJ nnn 1???n當 為 偶數(shù) 時， )(xJn為 偶函數(shù) ； n當 為 奇數(shù) 時， )(xJn為 奇函數(shù) 。 貝塞爾方程 (12) 的 通解 都可表示為 另外，由 推出， 情形 3 n 為整數(shù)時 ， 32 貝塞爾函數(shù)的遞推公式 不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系， 本節(jié) 來建立反映這種聯(lián)系的 遞推公式 。 ,nx? x? ? ),()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ? ).()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ??(25) (26) 事實上，在 (18)式的兩邊乘上 然后對 求導，得 ????????????0 12121)11(!2)1(k knkkknkx? ??? )( xJxdxdnn35 ),(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn ?? ??).(2)()( 11 xJxJxJ nnn ??? ??),()()( 1 xxJxnJxJx nnn ????),()()( 1 xxJxnJxJx nnn ?????)(xJn? ),(xJn? ? ),()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ? ).()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ??(25) (26) 如果將以上兩式左端的導數(shù)表出，化簡后則得 先后消去 與 則得 (27) (28) 顯然 (25)(26)式與 (27)(28)式是 等價 的。 這樣一來，通過 (27)式，可以用 0階 與 1階 貝塞爾函數(shù)來表示任意 正整數(shù)階 的貝塞爾函數(shù)。()( 10 xJxJ ???特別的 ，當 時，由 (26)式得 37 ? ? ),()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ? ).()( 1 xJxxJxdxd nnnn ??? ??(25) (26) 0?n? ? ).()( 01 xxJxxJdxd ?)。()( 10 xJxJ ???(29) ? dxxxJ )(2求 解 由 (27)式知， ),()(2)(012 xJxJxxJ ??),()(2)( 012 xxJxJxxJ ??? dxxxJ )(2 ?? ?? dxxxJdxxJ )()(2 01.)()(2 10 cxxJxJ ????則有 39 ),(2)()( 11 xYxnxYxY nnn ?? ??).(2)()( 11 xYxYxY nnn ??? ??? ? ),()( 1 xYxxYxdxd nnnn ??? ? ),()( 1 xYxxYxdxd nnnn ??? ??對于第二類貝塞爾函數(shù)，也有如下的 遞推公式 成立： 40 當 n),(21xJ,)121(!2)1()( 0 22212121 ??? ???????m mmmmmxxJ,)1(!2)1()(022?????????? m mnmnmn mnmxxJ (18) ),(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn ?? ??(27) ?)21()21()23( mmm ?????? )21()21)(21( ????? mmm??? )21(2123)21)(21( ????? ?mm為 半奇數(shù) 時的貝塞爾函數(shù)的一個重要特點 是 可用初等函數(shù)表示 。例如 一般的，有
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