計算方法第0章緒論-閱讀頁
2025-06-02 04:10本頁面
【正文】 nxx… ,1( , , )nA f x x? …如果 的近似值為 1 , nxx??… ,，于是誤差限 1( ) ( ) ( )nkk kfAxx??? ? ??????而 A? 的相對誤差限為 1()()( ) ( )n krrk kxAfAxAA???? ??? ? ?????? ? ???例 6. P9 2021/6/16 32 五、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 例 7. ?? 101 dxexeI xnn計算定積分 7,2,1,0 ??n解 : nI ??101 xn dexe101 xn exe? ? ??101 dxexen xn11 ??? nnI,0I如果先計算 721 , III ?然后再計算2021/6/16 33 ,*00 II 的近似值為假設(shè)計算出 ??)( *0IE誤差為??)( *1*11 IEII 的誤差為的近似值則?2)( *2*22 ?IEII 的誤差為的近似值?!3)( *3*33 ?IEII 的誤差為的近似值???????!7)( *7*77 ?IEII 的誤差為的近似值 ?5040?誤差放大 5千倍 ! nII nn???11但如果利用遞推公式 ,7I先計算 !570 千分之一誤差的的誤差只有 II2021/6/16 34 因此在計算公式選用及算法設(shè)計時 ,應(yīng)注意以下原則 1. 四則運算中的穩(wěn)定性問題 (1) 防止大數(shù)吃小數(shù) 這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起 假如做一個有效數(shù)字為 4位的連加運算 11 ??? nn nII公式nII nn???11公式誤差會放大 誤差不會放大 2021/6/16 35 4 0 1 6 9 8 9 9 8 2 3 4 ?????1 2 3 4 ??4 6 9 ,4 8 9 ,4 9 8 2 3 4 吃了將小數(shù)大數(shù) ?而如果將小數(shù)放在前面計算 1 2 3 0 1 6 9 8 9 9 8 4 ?????1 2 3 4 ??在作連加時 ,為防止大數(shù)吃小數(shù) ,應(yīng)從小到大進行相加 , 如此 ,精度將得到適當(dāng)改善 .當(dāng)然也可采取別的方法 . 2021/6/16 36 (2) 作減法時應(yīng)避免相近數(shù)相減 兩個相近的數(shù)相減 ,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴重損失 o s1 ? 5109 9 9 9 5 ???xco s1 ?2s in22 x?2 in2 2 5109 9 9 9 5 8 3 3 ???由于 在算法設(shè)計中 ,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減 ,則改變 計算公式 ,如使用三角變換、有理化等等 2021/6/16 37 例 8. 解方程 010)110(992 ???? xx解 : 由中學(xué)知識韋達定理可知 ,方程的精確解為 91 10?x 12 ?xaacbs qr tbx2)4( 22,1????而如果在字長為 8位的計算機上利用求根公式 110 9 ??? b ?? 1010010 0 0 0 0 0 0 ??機器吃了 因此在計算機上 ??? b ?? ?? 910?2021/6/16 38 )4( 2 acbs q r t ? 9210 1014)(? ?????? 910??aacbs qr tbx2)4( 21????999102 1010? ???aacbs qr tbx2)4( 22???? 021010? 99 ???2x 的值與精確解
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