近世代數(shù)練習題解答-閱讀頁
2024-09-24 17:42本頁面
【正文】 ?， 在 R 上定義加法和乘法如下： 11( ) ( )r r f r f r??? ? ? 1111( ) ( )r r f r f r??? ? ? 因 R 是一個環(huán)，故 容易驗證 R 也是一個環(huán) . 九、假定 H是 G的子群， N是 G的不變子群， 證明： H N是 G的子群 . 證 ? h， h1∈ H和 ? n， n1∈ N， 因 N是 G的不變子群，故 有 111 1 1n h n N??? ，而 N是 G的子群，所以 1 1 11 1 1 1()n n h n n N? ? ? ?，于是由 H N的含義知 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]h n h n h n n h h n n h n n H N? ? ? ? ? ?? ? ? 由子群的充要條件知， H N是 G的子群 . 十、設(shè) R是整數(shù)環(huán)，證明： (4,6) (2)? ，其中（ 4,6）是由 4和 6生成的理想，（ 2）是由 2生成的主理想 . [分析 ] 由于整數(shù)環(huán)是一個有單 位元的交換環(huán)，則由兩個整數(shù) 4和 6生成的理想為 (4， 6)＝ (4)＋ (6)＝ {4k | k∈ }＋ {6l | l∈ }＝ {4k＋ 6l | k， l∈ }. 證 對于任意整數(shù) a， 記 k＝ 2a， l＝－ a，則 2a＝ 8a－ 6a=4k＋ 6l∈ (4， 6). 因此 (4,6) (2)? .另一方面，由 (4) (2)? 和 (6) (2)? 知， (4,6) (2)? . 綜上 可得 ， (4,6) (2)? .
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