20xx高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元練習(xí)--空間向量與立體幾何-閱讀頁(yè)
2024-09-08 20:09本頁(yè)面
【正文】 cos〈 m， n〉＝－ 155 ． 故二面角 Q－ BP－ C 的余弦值為－ 155 ． 18．如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AB＝ 2BC，∠ ABC＝ 120176。 6178。 (Ⅱ）設(shè) M 為線段 DE 的中點(diǎn)，求直線 FM 與平面 A′ DE 所成角的余弦值 . 【答案】 (Ⅰ )取 AD 的中點(diǎn) G，連結(jié) GF， CE，由條件易知 FG∥ CD， FG=12 CD. BE∥ CD,BE=12 CD. 所以 FG∥ BE,FG=BE. 故四邊形 BEGF 為平 行四邊形 . 所以 BF∥平面 A′ DE. (Ⅱ )在平行四邊形 ABCD 中，因?yàn)?AB＝ 2BC，∠ ABC=120176。 ??? MAAMMG . 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 M— xyz， 則 )3,27,2 3(),32,0,0(),0,7,3(),0,1,3(),0,1,3( 。 ???? MFDADE. 178。 設(shè)平面 A′ DE 的法向量為 ),( zyxn? ，由 ?????????0039。 8178。 9178。 10178。 DBSB ＝ 23， EB＝ DB2－ DE2＝ 63 ， SE＝ SB－ EB＝ 2 63 ， 所以 SE＝ 2EB. (2) 由 SA＝ SD2＋ AD2＝ 5， AB＝ 1， SE＝ 2EB， AB⊥ SA，知 AE＝ ?? ??13SA 2＋ ?? ??23AB 2＝ AD＝ 1. 故△ ADE 為等腰三角形． 取 ED 中點(diǎn) F，連結(jié) AF， 則 AF⊥ DE， AF＝ AD2－ DF2＝ 63 ． 連結(jié) FG， 則 FG∥ EC， FG⊥ DE. 所以∠ AFG 是二面角 A－ DE－ C 的平面角． 連結(jié) AG， AG＝ 2， FG＝ DG2－ DF2＝ 63 ． 178。 cos∠ AFG＝ AF2＋ FG2－ AG22AF178。 . 方法二 (1)證明 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段 DA， DC， DS 所在的直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 D－ xyz， 設(shè) A(1,0,0)，則 B(1,1,0)， C(0,2,0)， S(0,0,2)． S＝ (0,2，－ 2)， B＝ (－ 1,1,0)． 設(shè)平面 SBC 的法向量為 n＝ (a， b， c)，由 n⊥ S， n⊥ B，得 n178。 B＝ 0. 故 2b－ 2c＝ 0，－ a＋ b＝ 0. 令 a＝ 1，則 b＝ 1， c＝ 1， n＝ (1,1,1)． 又設(shè) S＝λ (λ＞ 0)，則 E??? ???λ1＋λ ， λ1＋λ ， 21＋λ ， D＝ ??? ???λ1＋λ ， λ1＋λ ， 21＋λ ， D＝ (0,2,0)． 設(shè)平面 CDE 的法向量 m＝ (x， y， z)， 由 m⊥ DE ， m⊥ DC ，得 m178。 DC ＝ 0. 故 λ x1＋λ ＋ λ y1＋λ ＋ 2z1＋λ ＝ 0,2y＝ 0. 令 x＝ 2，則 m＝ (2,0，－λ )． 由平面 DEC⊥平面 SBC，得 m⊥ n 所以 m178。 DE ＝ 0，由此得 FA⊥ DE. 又 EC ＝ ?? ??－ 23， 43，－ 23 ，故 EC 178。 . 22．如圖 14－ 2，三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，∠ BCA＝ 90176。 12178。＝ 0，知 AC1⊥ CB， 又 BA1⊥ AC1， BA1∩ CB＝ B，所以 AC1⊥平面 A1BC. (2)由178。 n|m|178
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