20xx屆湖北省七市(州)教研協(xié)作體高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(含解析)-閱讀頁(yè)
2025-04-05 05:57本頁(yè)面
【正文】 代入t2＝14，得四邊形F2MPN的面積．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用向量之間的關(guān)系得出，考查了運(yùn)算求解能力.21．某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有2n﹣1個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率均為p，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立．若系統(tǒng)中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．（1）當(dāng)時(shí)，若該電子產(chǎn)品由3個(gè)系統(tǒng)G組成，每個(gè)系統(tǒng)的維修所需費(fèi)用為500元，設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問(wèn)p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為750；（2）．【分析】（1）由題知當(dāng)時(shí)個(gè)系統(tǒng)需要維修的概率為，進(jìn)而得電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個(gè)數(shù)滿足，再根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；（2）設(shè)個(gè)元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率為，進(jìn)而得，再分三種情況（見解析）討論，進(jìn)而求解時(shí)的情況即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，一個(gè)系統(tǒng)有3個(gè)電子元件，則一個(gè)系統(tǒng)需要維修的概率為，設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)個(gè)數(shù)，則，∴，∴的分布列為：050010001500P∴．（2）記個(gè)元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率為．個(gè)元件中有個(gè)正常工作的概率為，因此系統(tǒng)工常工作的概率．在個(gè)元件組成的系統(tǒng)中增加兩個(gè)元件得到個(gè)元件組成的系統(tǒng)，則新系統(tǒng)正常工作可分為下列情形：（a）原系統(tǒng)中至少個(gè)元件正常工作，概率為；（b）原系統(tǒng)中恰有個(gè)元件正常工作，且新增的兩個(gè)元件至少有1個(gè)正常工作，概率為；（c）原系統(tǒng)中恰有個(gè)元件正常工作，且新增的兩個(gè)元件均正常工作，概率為．所以,因此， ，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，增加兩個(gè)元件后，能提高系統(tǒng)的可靠性．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二項(xiàng)分布，分布列與期望，概率加法公式，考查運(yùn)算求解能力，分析數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)的能力，進(jìn)而分三類情況討論增加兩個(gè)元件后的系統(tǒng)正常工作的概率，并討論使得的情況.22．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，記，證明：．【答案】（1）函數(shù)的增區(qū)間為；（2）證明見解析．【分析】（1）求得，證明出對(duì)任意的恒成立，由此可得出結(jié)果；（2）由題意可知不等式對(duì)任意的恒成立，令，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?令，則.當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，函數(shù)的增區(qū)間為；（2）由題意得不等式對(duì)任意的恒成立，令，要證，即證..令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，又，故，使得，即.所以，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以且，所以存在，使得，即，且滿足，函數(shù)單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增；所以.令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，則，則只需證明，即，即，即，可先證明，則，所以，可得，而，所以，證畢.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).21
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