【正文】 E．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的長為6cm．點睛：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，難易程度適中，是一道很典型的題目．9．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點O為AC的中點．（1）如圖1，當點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點P在射線OA上運動，恰好使得∠OEF＝30176。．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點C和A運動．連接AM和BN，交于點P．求△APB周長的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長的最大值4+4；（3）△PAB的周長最大值=2+4．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90176?！連M=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90176。∴∠APB=90176。作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90176。∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90176?！唷螦PB=120176?！唷螦KB+∠APB=180176?！逷H=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大時，△APB的周長最大，∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，∴△PAB的周長最大值=2+4．11．如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上，AF⊥AE交CB的延長線于F．求證：AE=AF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90176。又∵∠DAE+∠BAE=90176。在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，證明△ABF≌△ADE是解決本題的關(guān)鍵．12．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176。、∠MIN=60176。由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。設NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。DE==，當DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176?！唷螮PH∠EPB=∠EBC∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。BH=BH，在△BCH和△BQH中，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長是定值．（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當x=2時，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點：幾何變換綜合題．14．如圖1，在菱形ABCD中，ABC=60176。若點E在CB的延長線上運動，點F在AB的延長線上運動，且BE=BF，連接DE,點P為DE的中點，連接FP、CP，那么第（2）問的結(jié)論成立嗎？若成立，求出的值；若不成立，請說明理由．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60176。根據(jù)DH⊥AB得出∠DHA=90176。根據(jù)Rt△CPF求出比值．試題解析：（1）解：∵四邊形ABCD為菱形 ∴DA∥BC CD=CB ∠CDG=∠CBA=60176?！逥H⊥AB ∴∠DHA=90176。 ∵BE=EF ∴△BEF為正三角形 ∴EF=BE=1 ∴DG=EF=證明：連接CG、CF由（1）知 △PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG與△CBF中 易證：∠CDG=∠CBF=60176。 ∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120176。－∠EBF=120176。 ∴∠DCG+∠GCE=120176。 即∠GCE=120176。 在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan601