初中數(shù)學(xué)競賽試題-在線瀏覽
2024-10-04 10:20本頁面
【正文】 在 ⊙O 外， BA、 BC 均與 ⊙O 相交，過 BA 與圓的交點(diǎn) K 引 ∠ABC平分線的垂線，交 ⊙O 于 P，交 BC 于 M。 【分析】方法 2AE=ABAC ← 在 BE 上截取 EF=AE，只需證 BF=AC，連結(jié) DC、 DB、 DF，從而只需證 △DBF≌△DCA ← DF=DA ， ∠DBF=∠DCA ， ∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG 。 由 △P 1O1M1∽P 2O2M2， M1O3=M2O2， O1P1=O1A， O2P2=O2A 可得。 在 O1M 上截取 MO3=MO2，則∠M 1AO3=∠M 2AO2。求證： ∠O 1AO2=∠M 1AM2。NT=AM178。PN=AM178。NT 。 【分析】只需證 ， PM178。 【例 2】 △ABC 內(nèi)接于 ⊙O ， P 是弧 AB 上的一點(diǎn)，過 P作 OA、 OB 的垂線，與 AC、 BC 分別交于 S、 T， AB 交于 M、N。連 結(jié) OF、 OP、 OB。 連結(jié) ED、 AC、 AF。求證： BE 平分 CD。 【競賽例題剖析】 【例 1】從 ⊙O 外一點(diǎn) P 向圓引兩條切線 PA、 PB 和割線 PCD。 （ 2） 利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰 △ 的 “ 三線合一 ” 可證明垂直。例如：中位線定理， Rt△ 斜邊上的中線等于斜邊的一半； △ 的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。c ，再去證明 a=p，即所謂 “ 截長補(bǔ)短 ” ，角的問題仿此進(jìn)行。如要證明 a=b177。競賽專題講座 04 －平面幾何證明 [競賽知識點(diǎn)撥 ] 1． 線段或角相等的證明 （ 1） 利用全等 △ 或相似多邊形； （ 2） 利用等腰 △ ； （ 3） 利用平行四邊形； （ 4） 利用等量代換； （ 5） 利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系 （ 6） 利用圓中的等量關(guān)系等。 2． 線段或角的和差倍分的證明 （ 1） 轉(zhuǎn)化為相等問題。c ，可以先作出線段 p=b177。 （ 2） 直接用已知的定理。 3． 兩線平行與垂直的證明 （ 1） 利用兩線平行與垂直的判定定理。 （ 3） 利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。從 A 點(diǎn)作弦 AE 平行于CD，連結(jié) BE 交 CD 于 F。 【分析 1】構(gòu)造兩個(gè)全等 △ 。 CF=DF←△ACF≌△EDF← ← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 【分析 2】利用圓中的等量關(guān)系。 ←∠PFB=∠POB← ← 注：連結(jié) OP、 OA、 OF，證明 A、 O、 F、 P 四點(diǎn)共圓亦可。求證： PM=MS 充要條件是 PN=NT。PN=MS178。 （ ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ） → △APM∽△PBN → →PM178。BN （ ∠BNT=∠AMS ， ∠BTN=∠MAS ） →△BNT∽△SMA → →MS178。BN 【例 3】已知 A 為平面上兩半徑不等的圓 O1和 O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公 切線 P1P Q1Q2分別切兩圓于 P P Q Q2， M M2分別為 P1Q P2Q2的中點(diǎn)。 【分析】設(shè) B 為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長 BA 交 P1P2于 C，交 O1O2于 M，則 C 為 P1P2的中點(diǎn)，且 P1M1∥CM∥P 2M2，故 CM為 M1M2的中垂線。 故只需證 ∠O 1AM1=∠O 3AM1，即證 。 【例 4】在 △ABC 中， ABAC， ∠A 的外角平分線交 △ABC 的外接圓于 D， DE⊥AB 于 E，求證： AE= 。 方法 延長 CA 至 G，使 AG=AE，則只需證 BE=CG ← 連結(jié) DG、 DC、 DB，則只需證 △DBE≌△DCG ← DE=DG ， ∠DBE=∠DCG ， ∠DEB =∠DGC=Rt∠ 。 求證：線段 PM 為圓心到∠ABC 平分線距離的 2 倍。 若角平分線不過 O，則延長DO 至 D‘
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