湖南城市學(xué)院-隨機(jī)過程講稿(11)-在線瀏覽
2024-10-28 19:12本頁面
【正文】 為：,令 ，有,2. 二階 AR模型,當(dāng)上述式子中的N=2時(shí)，稱為二階AR模型，即,（3）,式中 和 均為實(shí)常數(shù)， 。,由（4）式可知，其中必然有一個(gè)特解為：,根據(jù)模型差分方程，零輸入下得齊次方程,奇次解為：,式中 和 是待定系數(shù)，由初始條件確定。 實(shí)際上，二階模型的平穩(wěn)條件與其系數(shù) 和 是有關(guān)的，這可通過 和 平面表示。而且：,（6）,根據(jù)平穩(wěn)條件 ，因此有：,另外，還要求：,1,1,r,f(r),于是，可得：,這就是保證二階AR模型平穩(wěn)的條件，可用系數(shù)分布圖說明。 （2）過阻尼：出現(xiàn) 和 不同的實(shí)根。,以及,綜合（1）和（2）式分析，得到以下三個(gè)條件：,在（7）式中W(n)是白噪聲序列，它的取值在任意兩個(gè)時(shí)刻是不相關(guān)的，而X(n)是W(n)的線性組合，所以有,當(dāng)X(n)是平穩(wěn)過程時(shí)，現(xiàn)在討論其自相關(guān)函數(shù)：,用 代入到方程（3）中可得：,對上式兩邊同時(shí)乘以X(n)，并取數(shù)學(xué)期望可得：,（7）,（8）,根據(jù)（7）和（8）式可得：,以及,由此解得：,對于 時(shí)，有,（9）,方程（9）具有如下形式的通解：,式中 和 為特征方程 的根。其中，特征根為：,對于特征根，顯然有：,（10）,為了確定B1，B2，在式（10）中，令m=0,m=1，則有：,（11）,根據(jù)前面推到可知： ，代入到（11）式中得：,將式（11）中的RX(0)變形可得：,（12）,（13）,將式（12）減去式（13）可得：,于是可得：,將式（11）中的RX(0)變形可得：,（14）,將式（12）減去式（14）可得：,將B1和B2的值代入到（10）可得：,最后，分析二階AR模型的功率譜密度。 對上式兩邊取
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