湖南城市學院-隨機過程講稿(11)-文庫吧
2024-10-28 19:12 本頁面
【正文】 期望：,如果 ,由上式可以看出， 的均值有可能不滿足平穩(wěn)性，即可能不滿足一階平穩(wěn)。然而，如果系數(shù) ，當 較大時，則有,在此情況下， 是一階漸進平穩(wěn)的。,由于 是均值為零的白噪聲，所以有：,（2）自相關函數(shù)：,顯然，當 時， 并不滿足自相關平穩(wěn)性，但是，當 并且 足夠大時，X(n)是趨于平穩(wěn)的，即有：,對于實隨機序列，由于 對于 對稱分布，有,對于 ，不難推得，當 為正數(shù)時， 恒為正，且呈指數(shù)衰減。當 為負數(shù)時， 正負相間指數(shù)衰減。,根據(jù) 可得 的方差為：,說明平穩(wěn)隨機序列 的方差 比白噪聲方差 大。 最后討論一階AR模型的功率譜。對(2)式兩邊取z變換，可得其傳遞函數(shù)為：,從系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達式可以得，一階AR模型只有一個極點z=a，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是所有極點都位于單位圓內(nèi)，即 ，因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件與漸近平穩(wěn)的條件是一致的。,（3）系統(tǒng)輸出功率譜為：,令 ，有,2. 二階 AR模型,當上述式子中的N=2時，稱為二階AR模型，即,（3）,式中 和 均為實常數(shù)， 。 上式二階差分方程的特征多項式為：,為了推導方便，定義后向差分算子：,于是，二階AR模型成為：,（4）,式中 和 為二階AR模型特征多項式的根，即,方程（4）的解由兩部分組成，即由奇次解和特解組成。,由（4）式可知，其中必然有一個特解為：,根據(jù)模型差分方程，零輸入下得齊次方程,奇次解為：,式中 和 是待定系數(shù)，由初始條件確定。 所以二階AR模型的解：,（5）,當 時，(5)式右邊齊次解隨 的增大而趨于零，而特解部分具有有限方差，在均方意義下收斂，隨 的增大而漸近收斂于特解公式的平穩(wěn)結(jié)果。 實際上，二
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