20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第三章1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系練習(xí)題含答案-在線瀏覽
2025-01-31 00:14本頁(yè)面
【正文】 1－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ＝ 1＋ sin2α ＋ cos2α － 2sin α cos α ＋ 2(cos α － sin α ) ＝ 1＋ 2(cos α － sin α )＋ (cos α － sin α )2 ＝ (1－ sin α ＋ cos α )2＝右邊 ． 法二： 左邊＝ 2－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ， 右邊＝ 1＋ sin2α ＋ cos2α － 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ＝ 2－ 2sin α ＋ 2cos α － 2sin α cos α ， 所以左邊＝右邊 ． 法三： 令 1－ sin α ＝ x， cos α ＝ y， 則 (x－ 1)2＋ y2＝ 1， 即 x2＋ y2＝ 2x. 所以左邊＝ 2x(1＋ y)＝ 2x＋ 2xy＝ x2＋ y2＋ 2xy＝ (x＋ y)2＝右邊 ． 方法歸納 證明三角恒等式的常用方法 證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程 ， 證明時(shí)常用的方法有： (1)從一邊開始 ， 證明它等于另一 邊 ， 遵循由繁到簡(jiǎn)的原則 ． (2)證明左右兩邊等于同一個(gè)式子 ． (3)證明左邊減去右邊等于零或左、右兩邊之比等于 1. (4)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立 ， 從而推出原式成立 ． 3． (1)證明： 1＋ 2sin α cos αsin2α － cos2α ＝ 1＋ tan αtan α － 1. (2)求證： cos α1＋ sin α － sin α1＋ cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）1＋ sin α ＋ cos α . 證明： (1)左邊＝ sin2α ＋ cos2α ＋ 2sin α cos αsin2α － cos2α ＝ （ sin α ＋ cos α ）2（ sin α － cos α ）（ sin α ＋ cos α ） ＝ sin α ＋ cos αsin α － cos α ＝ 1＋ tan αtan α － 1＝右邊 ． (2)左邊＝ cos α （ 1＋ cos α ）－ sin α （ 1＋ sin α ）（ 1＋ sin α ）（ 1＋ cos α ） ＝ （ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）1＋ sin α ＋ cos α ＋ sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）2＋ 2sin α ＋ 2cos α ＋ 2sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）1＋（ sin2α ＋ cos2α ）＋ 2sin α ＋ 2cos α ＋ 2sin α cos α ＝ 2（ cos α － sin α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ）（ 1＋ sin α ＋ cos α ） 2 ＝ 2（ cos α － sin α ）1＋ sin α ＋ cos α ＝右邊 ． 易錯(cuò)警示 因忽略角 的范圍致誤 在 △ ABC 中 ， 已知 sin A＋ cos A＝ 22 ， 求 tan A 的值 ． [解 ] 法一： 因?yàn)?sin A＋ cos A＝ 22 ， ① 所以 (sin A＋ cos A)2＝ 12， 所 以 2sin Acos A＝－ 12， 所以 sin Acos A＜ 0. 又因 為 0＜ A＜ π ， 所以 sin A＞ 0， cos A＜ 0， 所以 sin A－ cos A＝ （ sin A－ cos A） 2 ＝ 1－ 2sin Acos A＝ 62 .② 由 ①② ， 得 sin A＝ 6＋ 24 ， cos A＝ 2－ 64 ， 所以 tan A＝ sin Acos A＝－ 2－ 3. 法二： 因?yàn)?sin A＋ cos A＝ 22 ， 所以 cos A＝ 22 － sin A. 又因?yàn)?sin2A＋ cos2A＝ 1， 所以 sin2A＋ ??? ???22 － sin A2＝ 1. 整理 ， 得 4sin2A－ 2 2sin A－ 1＝ 0， 解得 sin A＝ 2＋ 64 或 sin A＝ 2－ 64 . 又因?yàn)?0Aπ ， 所以 sin A0， 所以 sin A＝ 2＋ 64 ， cos A＝ 22 － sin A＝ 2－ 64 ， 所以 tan A＝ sin Acos A＝－ 2－ 3. [錯(cuò)因與防范 ] (1)本題易錯(cuò)解為 tan A＝－ 2177。513. 又因?yàn)?α是第四象限角 ， 所以 sin α ＝－ 513. 2． 若 tan θ ＝ 2， 則 2cos θsin?? ??π 2 ＋ θ ＋ sin（ π ＋ θ）等于 ( ) A． － 2 B． 2 C． 0 D． 23 解析： 選 A. 2cos θsin?? ??π 2＋ θ ＋ sin（ π ＋ θ）＝ 2cos θcos θ － sin θ ＝ 21－ tan θ ＝－ 2. 3． 已知 cos2α ＋ 4sin α cos α ＋ 4sin2α ＝ 5， 則 tan α ＝ ________． 解析： 由題意知 ， cos2α ＋ 4sin α cos α ＋ 4sin2αcos2α ＋ sin2α ＝ 1＋ 4tan α ＋ 4tan2α1＋ tan2α ＝ 5， 整理得 tan2α － 4tan α ＋ 4＝ 0， 所以 tan α ＝ 2. 答案： 2 4． 若 sin θ ＝－ 45， tan θ 0， 則 cos θ ＝ ________． 解析： 因?yàn)?sin θ 0， tan θ 0， 所以 θ是第三象限角 ． 所以 cos θ ＝－ 1－ sin2θ ＝－ 35. 答案： － 35 , [學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè) ]) [ 礎(chǔ)達(dá)標(biāo) ] 1． 已知 tan α ＝ 12且 α∈ ?? ??π ， 32π ， 則 sin α 的值是 ( ) A． － 55 B． 55 55 D． － 2 55 解析： 選 為 α ∈ ?? ??π ， 32π ， 所以 sin α 0， 由 tan α ＝ sin αcos α ＝ 12及 sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 得 sin α ＝－ 55 . 2． 已知 α是銳角 ， 且 tan α 是方程 4x2＋ x－ 3＝ 0 的根 ， 則 sin α ＝ ( ) B． 35 D． 15 解析： 選 4x2＋ x－ 3＝ 0 的根為 x＝ 34或 x＝－ 1， 又因?yàn)?tan α 是方程 4x2＋ x－ 3＝ 0 的根且 α為銳角 ， 所以 tan α ＝ 34， 所以 sin α ＝ 34cos α ， 即 cos α ＝ 43sin α ， 又 sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 所以 sin2α ＋ 169 sin2α ＝ 1， 所以 sin2α ＝ 925(α為銳角 )， 所以 sin α＝ 35. 3． 若 sin θ ＋ sin2θ ＝ 1， 則 cos2θ ＋ cos6θ
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