【正文】 即類比推理 . 二、講授新課： 1. 教學(xué)概念： ① 概念：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象 的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理 . 簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理 . ② 類比練習(xí)： (i)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑 . 由此結(jié)論如何類比到球體？ (ii)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？ (iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應(yīng)特征 . （教材 P81 探究 填表） 小結(jié)：平面→空間，圓→球，線→面 . ③ 討論：以平面向量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)空間向量，試舉例其中的一些類比思維 . 2. 教學(xué)例題： 16 ① 出示例 1：類比實(shí)數(shù)的加法和乘 法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì) . （得到如下表格） 類比角度 實(shí)數(shù)的加法 實(shí)數(shù)的乘法 運(yùn)算結(jié)果 若 ,ab R? 則 a b R?? 若 ,ab R? 則 ab R? 運(yùn)算律 ( ) ( )a b b aa b c a b c? ? ?? ? ? ? ? ( ) ( )ab baab c a bc? ? 逆運(yùn)算 加法的逆運(yùn)算是減法，使得方程 0ax?? 有唯一解 xa?? 乘法的逆運(yùn)算是除法，使得方程 1ax? 有唯一解 1xa? 單位元 0aa?? 11a?? ② 出示例 2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 . 思維：直角三角形中， 090C?? ， 3條邊的長(zhǎng)度 ,abc， 2條直角邊 ,ab和 1條斜邊 c ； → 3個(gè)面兩兩垂直的四面體中， 090PDF PDE EDF? ? ? ? ? ?， 4個(gè)面的面積 1 2 3,S S S 和 S 3個(gè)“直角面” 1 2 3,S S S 和 1個(gè)“斜面” S . → 拓展：三角形到四面體的類比 . 3. 小結(jié)： 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理 . 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材 P38 3題 . 2. 探究：教材 P35 例 5 ： P44 6題 . 17 第三課時(shí) 演繹推理 教學(xué)要求 ：結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些 簡(jiǎn)單的推理。 . 教學(xué)重點(diǎn) ：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 . 教學(xué)難點(diǎn) ： 分析證明過程中包含的 “三段論”形式 . 教學(xué)過程 ： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ： 1. 練習(xí)： ① 對(duì)于任意正整數(shù) n，猜想（ 2n1）與 (n+1)2的大小關(guān)系？ ②在平面內(nèi)，若 ,a cb c??，則 //ab. 類比到空間，你會(huì)得到什么結(jié)論？（結(jié)論：在空間中，若 ,a cb c??，則 //ab；或在空間中，若 , , //? ? ? ? ? ??? 則 . 2. 討論：以上推理屬于什么推理，結(jié)論正確嗎？ 合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明，有什么能使結(jié)論正確的推理形式呢？ 3. 導(dǎo)入：① 所有的金屬都能夠?qū)щ?，銅是金屬，所以 ； ② 太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，冥王星是太陽(yáng)系的大行星，因此 ； ③ 奇數(shù)都不能被 2整除， 2020是奇數(shù)，所以 . （填空→討論：上述例子的推理形式與我們學(xué)過的合情 推理一樣嗎？→課題：演繹推理） 二、講授新課： 1. 教學(xué)概念： ① 概念：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為 演繹推理 。 ② 討論：演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？ 合情推理 ???歸 納 推 理 ： 由 特 殊 到 一 般類 比 推 理 ： 由 特 殊 到 特 殊；演繹推理：由一般到特殊 . ③ 提問：觀察教材 P39引例，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點(diǎn)？ 所有的金屬都導(dǎo)電 銅是金屬 銅能導(dǎo)電 已知的一般原理 特殊情況 根 據(jù)原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 大前提 小前提 結(jié)論 18 “三段論”是演繹推理的一般模式：第一段：大前提 —— 已知的一般原理；第二段：小前提 —— 所研究的特殊情況；第三段：結(jié)論 —— 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 . ④ 舉例：舉出一些用“三段論”推理的例子 . 2. 教學(xué)例題： ① 出示例 1：證明函數(shù) 2( ) 2f x x x?? ? 在 ? ?,1??? 上是增函數(shù) . 板演：證明方法（定義法、導(dǎo)數(shù)法） → 指出 ：大前題、小前題、結(jié)論 . ② 出示例 2：在銳角三角形 ABC中， ,AD BC BE AC??， D， E是垂足 . 求證： AB的中點(diǎn) M到D， E的距離相等 . 分析：證明思路 →板演：證明過程 → 指出：大前題、小前題、結(jié)論 . ③ 討論：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) xya? 是增函數(shù)， 1()2xy?是指數(shù)函數(shù)，則結(jié)論是什么？ （結(jié)論→指出：大前提、小前提 → 討論：結(jié)論是否正確，為什么？） ④ 討論：演繹推理怎樣才結(jié)論正確？（只要前提和推理形式正確，結(jié)論必定正確） 3. 比較： 合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系？（從推理形式、結(jié)論正確性等角度比較；演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的結(jié)論，合情推理為演繹推理提供方向和思路 .） 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)： P42 3題 2. 探究： P42 閱讀與思考 ： P44 6題， B組 1題 . 19 第一課時(shí) 綜合法和分析法（一） 教學(xué)要求 ：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析 法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) . 教學(xué)重點(diǎn) ：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程 . 教學(xué)難點(diǎn) ：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 . 教學(xué)過程 ： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ： 1. 已知 “若 12,a a R?? ，且 121aa??，則12114aa??”，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想 . （答案：若 12, ....... na a a R?? ，且 12 .... 1na a a? ? ? ?，則121 1 1....na a a? ? ? ? 2n ） 2. 已知 ,abc R?? ， 1abc???，求證： 1 1 1 9abc? ? ? . 先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點(diǎn)？ 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例 1：已知 a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證： a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc. 分析：運(yùn)用什么知識(shí)來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號(hào)的處理） → 討論：證明形式的特點(diǎn) ② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 . 框圖表示： 要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?. ③ 練習(xí)：已知 a， b， c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證 3b c a a c b a b ca b c? ? ? ? ? ?? ? ?. ④ 出示例 2：在△ ABC中，三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a、 b、 c，且 A、 B、 C成等差數(shù)列，a、 b、 c成等比數(shù)列 . 求證：為△ ABC等邊三角形 . 分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？ 20 → 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點(diǎn) . → 小結(jié)：文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和） 2. 練習(xí)： ② ,AB為銳角，且 ta n ta n 3 ta n ta n 3A B A B? ? ?，求證： 60AB?? . （提示：算tan( )AB? ） ② 已知 ,abc?? 求證： 1 1 4 .a b b c a c??? ? ? 3. 小結(jié)： 綜合法是從已知的 P 出發(fā)，得到一系列的結(jié)論 1 2,??? ，直到最后的結(jié)論是 Q. 運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題 . 三、鞏固練習(xí)： 1. 求證：對(duì)于任意角θ， 44c os si n c os 2? ? ???. （教材 P52 練習(xí) 1題） （ 兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程） 2. ABC? 的三個(gè)內(nèi)角 ,ABC 成等差數(shù)列，求證： 1 1 3a b b c a b c??? ? ? ?. 3. 作業(yè)：教材 P54 A組 1題 . 21 第二課時(shí) 綜合法和分析法（二） 教學(xué)要求 ：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) . 教 學(xué)重點(diǎn) ：會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程 . 教學(xué)難點(diǎn) ：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 . 教學(xué)過程 ： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ： 1. 提問：基本不等式的形式？ 2. 討論：如何證明基本不等式 ( 0 , 0 )2ab ab a b? ? ? ?. （討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件） 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例 1：求證 3 5 2 6? ? ?. 討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié) 論成立的充分條件？ → 板演證明過程 （注意格式） → 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法 ② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止 . 框圖表示： 要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因 . ③ 練習(xí)：設(shè) x 0， y 0，證明不等式： 112 2 3 3 32( ) ( )x y x y? ? ?. 先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明 . ④ 出示例 4：見教材 P48. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推） ⑤ 出示例 5：見教材 P49. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求） 2. 練習(xí)： 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大 . 22 提示：設(shè)截面周長(zhǎng)為 l，則周長(zhǎng)為 l的圓的半徑為2l?，截面積為 2()2l? ?，周長(zhǎng)為 l的正方形邊長(zhǎng)為4l，截面積為 2()4l，問題只需證： 2()2l? ? 2()4l. 3. 小結(jié)： 分析法由要證明的結(jié)論 Q思考，一步步探求得到 Q所需要的已知 1 2,PP??? ，直到所有的已知 P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知” (分析 )，從“ 已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑 . （框圖示意） 三、鞏固練習(xí)： 1. 設(shè) a, b, c是的△ ABC三邊， S是三角形的面積，求證： 2 2 2 4 4 3c a b ab S? ? ? ?. 略證：正弦、余弦定理代入得： 2 c os 4 2 3 si nab C ab ab C? ? ?， 即證： 2 cos 2 3 si nCC?? ，即： 3 sin cos 2CC??，即證： sin( ) 16C ???（成立） . 2. 作業(yè)：教材 P52 練習(xí) 3題 . 23