【正文】 分法 )某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗兩下指標(biāo)：核酸統(tǒng)一純度和回收率，這兩個指標(biāo)都是越大越好。試通過試驗分析找出較好的方案解：這是 4因素 3水平的試驗，可以選用正交表 L9(34)。第三節(jié)：正交試驗、正交表及其用法第三節(jié)：正交試驗、正交表及其用法總分總分 = 4 x 純度純度 + 1 x 回收率回收率分析：1) 根據(jù)綜合評分的結(jié)果，直觀上第 1號試驗的分?jǐn)?shù)最高，應(yīng)進一步分析它是不是最好的試驗方案；2) 通過直觀分析法可以得知，最好的試驗方案是 A1B3C2D1?？梢园催@個方案再試驗一次，看能不能得出比第一號試驗更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗方案；綜合評分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計算總分的方法化成一個指標(biāo)的問題，使對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單。第三節(jié)：正交試驗、正交表及其用法混合水平正交表及其用法 :混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這張表有兩 個重要特點：1) 每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的；2) 每兩列各種不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。第四節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計例 4： (直接利用混合水平正交表 )某農(nóng)科站進行品種試驗，共有 4個因素： A(品種 )、 B(氮肥量 )、C(氮、磷、鉀比例 )、 D(規(guī)格 )。試驗指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。第四節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計例 5： (擬水平法 )今有一試驗，試驗指標(biāo)只有一個，它的數(shù)值越小越好，這個試驗有 4個因素，其中因素 C是 2水平的，其余 3個因素都是 3水平的，試安排試驗。一般應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。第四節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計總結(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。它不僅可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平。也就是說，不僅各個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗指標(biāo)也有影響。因素 A和因素B的交互作用記為 A X B.第五節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計單個單個 因子因子 的影響與其的影響與其 交互作用交互作用 的影響的影響 比較比較 30 m50Kg 磷磷25 m50Kg 鉀鉀20kg 磷磷30kg 鉀鉀40 m交互作用交互作用 = 總效果總效果 (20kg 磷的效果磷的效果 + 30kg 鉀的效果鉀的效果 )交互作用表 (以正交表 L8(27)：用正交表安排有交互作用的試驗時，我們把兩個因素的交互作用當(dāng)成一個新的因素來看，讓它占有一列，叫交互作用列。每兩個因素之間都有交互作用，試驗指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。 3個因素 A, B, C要占 3列，它們之間的交互作用 A x B, B x C, A x C 又占 3列。由于因素 B影響較小， 1水平和 2水平差別不大但考慮到 AxB是 2 水平好，它的影響比 B大，所以因素 B取 2水平。綜合分析，最好的方案應(yīng)是 C2A1B2。第五節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計作 業(yè) 要 求1. 按照正交試驗 (直觀分析法 )的原理，解決你實際工作中的一個問題，并總結(jié)成實驗分析報告。如 65oC 與 70oC相比較，第一次 65oC比 70oC 好，而后二次 70oC比 65oC 好。由于試驗誤差的存在，對于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問，這差異是試驗誤差造成的，還是溫度的影響呢 ?第一節(jié)：問題的提出1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部 15個數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差 (或 總離差 )。2) 方差分析解決這類問題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù) 量表示；b. 用條件變差和試驗誤差在一定意義下進行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標(biāo)影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進一步試驗的方向；第一節(jié)：問題的提出變差的數(shù)量表示：有 n個參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, …, x n, 它們之間的差異稱為變差。S是每個數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論 (2)：我們看到 S的計算是比較麻煩的，原因是計算 x時有效位數(shù)增加了因而計算平方時工作量就大大增加。為此常用以下公式 :對于前面的例子對于前面的例子第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論 (3)：這樣計算雖然計算誤差較小，但工作量還較大，因此常采用如下的辦法：1. 每一個數(shù)據(jù)減 (加 )去同一個數(shù) a, 平方和 S仍不變。第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論 (4)：2. 每一個數(shù)據(jù)乘 (除 )同一個數(shù) b, 相應(yīng)的平方和 S增大 (縮小 )b2倍 。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出：例 2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它們是： , , , , 加上原來的六爐共十爐，求其平方和。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (3)：設(shè)有 n個數(shù) y1, y2, … , y n, 它們的平方和 的自由度是多少呢 ? 這就看 {yi} 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有 m個 (0mn)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a 1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a 2nyn = 0 … am1y1+am2y2+… +a mnyn = 0并且這 m個方程相互獨立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于 m, 則 S的自由度是 n m.第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (4)：根據(jù)這個定義，如令 yi = xi x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個線性約束關(guān)系，即即 m = 1, a11 = a12 = … = a 1n = 1所以變差平方和的自由度 = n m = n 1第一節(jié)：問題的提出均方的概念：平均平方和 (簡稱均方 )等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度 f.平均平方和以 MS表示，它的開方叫做均方差對例 MS = , 均方差為 對例 MS = ，均方差為 我們看到六爐和十爐的 MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說明用 MS反映波動的大小是更為合理的?？梢匀〉孟旅娴木€性統(tǒng)計模型：xij = μ+δi +εij , i = 1, 2, … …, a。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析自由度的概念 :在實際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠的。為此引入了自由度的概念。ST的自由度為 ( n 1)。SA的自由度為 ( a 1)。 MSE = SE/ (na)第二節(jié)：單因素試驗的方差分析方差分析 :在 H0成立的條件下，取統(tǒng)計量 F = MSA/MSE ~ F (a 1, n a)對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, n a)的值， 由樣本計算出 SA和 SE， 從而算出 F值?，F(xiàn)確定棉花百分比的 5個水平 : 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。問：抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響 (α＝ )?第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 :設(shè)抗拉強度為 xij = μi+ εij , i, j = 1, 2, 3, 4, 5.原假設(shè) H0： μ1=μ2=μ3=μ4=μ5備選假設(shè) H1： μi=μj, 至少有一對 i, j.這里 a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為 24， 4， 20第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 (2):已給出 α=， 查表得 Fα(a1, na)=(4,20)= 這里 F==(4, 20)故拒絕原假設(shè) H0， 接受 H1: μi =μj說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。 A有 a個水平 A1， A2, … … , Aa， B有 b個水平， B1， B2, … …, Bb, 在每一個組合水平 (Ai, Bj)下，進行一次無重復(fù)試驗，得到試驗指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè) Xij~N(μij , σ2 )，各 xij相互獨立。 j = 1, 2, … … , b, εij ~ N (0, σ2), 各相互獨立，其中 μ, αi,βj ,σ2都是未知數(shù)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析對這個線性模型，我們檢驗如下的假設(shè) HA0: α1 =α2 = … … =αa = 0 HA1: αi = 0 至少有一個 i, HB0: β1 =β2 =… … =βb = 0 HB1: βj= 0 至少有一個 j第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應(yīng)平方和 )+ SB (效應(yīng)平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。SB的自由度為 ( b 1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析方差分析 :在 H0成立的條件下，取統(tǒng)計量對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計算出 F1, F2值。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。SB的自由度為 ( b 1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析例 2： (雙因素?zé)o交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 :設(shè)火箭的射程為 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假設(shè) HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0 HB0: β１ =β２ =β３ =0備擇假設(shè) HA1:αi=0, 至少一個 i HB1:βj=0, 至少一個 j這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因為 F1=, F2=所以接受原假設(shè) HA0, HB0故不同的燃料、不同的推進器對火箭射程均無顯著影響。SA的自由度為 ( a 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。對這些因子產(chǎn)生的效果都要進行研究。例如，假若因子 A有 a個水平，因子 B有 b個水平。一個因子的效果是由因子水平的改變而引起的反應(yīng)的變化，經(jīng)常稱為主要效果。試考察因子 A， B 的效果。因子 A的主要效果可看成是在 A的第一個水平下的平均反應(yīng)與在第二個水平下的平均反應(yīng)之差，即類似地，因子 B的主要效果是第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念解 :對于第二種情況。第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念什么是 2K因子設(shè)計 :假設(shè)試驗中共有 k個因子，每個因子都只有兩個水平。這種設(shè)計的安排總共有 2k個不同的組合，若每種組合下取一個觀察值，總觀察值共有 2K個，因此叫 2K因子設(shè)計。為分析問題方便，我們用 A表示因子 A的效果， B表示因子 B的效果， AB表示交互作用 AxB的效果。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計假設(shè)在每一種水平組合下作 n次重復(fù)觀察因子 A的平均效果：在 B的低水平下為 在 B的高水平下為 總平均效果是這兩個數(shù)的平均值同理因子 B的總平均效果是交互作用 AxB的平均效果 AB定義如下：它是在 B的高水平下與在 B的低水平下 A的平均效果之差的平均值。每種組合做 3次試驗。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計解 :由前表可以求出然后求出平方和總離差平方和 ST第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計解 (2): 方差分析表對 A， B給出 α=，對 AB給出 α=查出 (1, 8) = , (1, 8) = , FA = , FB = , FAB = 所以，因子 A， B對化學(xué)反應(yīng)均有顯著影響， A的影響更顯著，交互作用 AxB無顯著影響以上所用的方法通常稱做 2k因子設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)分析方法。這里有主要效果 A， B， C，兩兩交互作用的效果為 AB， AC， BC， 3個因子交互作用的效果 ABC。因為每一個效果有一個對應(yīng)的含有 8項的線性組合的對照，即對 n次重復(fù)試驗，任一個效果，其平方和為 S = (對照 )2 / 8n第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計例 4:制造一種飲料，研究 3個因子的效果。試分析因子 A， B， C和它們的交互作用對試驗的影響。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計一般的 2k設(shè)計 :前面所講的 22因子設(shè)計和 23因子設(shè)計的分析方法可以推廣到一