【正文】 y z F x y z F x y z0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( , , ) ( )xyF x y z t F x y z t?????0 0 0( , , ) ( ) 0zF x y z t? ???? ?0( ) , ( ) , ( )T t t t? ? ?? ? ??返 回 下一頁 上一頁 與向量 n垂直 .因為曲線 (10)是曲面上通過點 M的 任意一條曲線，它們在點 M的切線都與同一個向 量 n垂直，所以曲面上通過點 M的一切曲線在點 M 的切線都在同一個平面上 .這個平面稱為曲面 Σ 在點 M的 切平面 .這 切平面的方程 是 (12) 通過點 而垂直于切平面 (12)的 直線稱為曲面在該點的 法線 .法線方程 是 z0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( , , ) ( )xyF x y z x x F x y z y y? ? ?0 0 0 0( , , ) ( ) 0zF x y z z z? ? ?0 0 0( , , )M x y z返 回 下一頁 上一頁 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量 . 向量 就是曲面 Σ 在點 M處的一個法向量 . z0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , )x y zx x y y z zF x y z F x y z F x y z? ? ???? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )x y zF x y z F x y z F x y z返 回 上一頁 一 .方向?qū)?shù) 二 .梯度 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 返 回 習題 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在 P(x,y)的某一鄰域 U(P)內(nèi) 有定義 .自點 P引射線 .設(shè) x軸正向到射線 的 轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè) 為 上的另 一點 (圖 89)且 .我們考慮函數(shù)的增 量 與 兩點間 的距離 的比值 .當 沿著 趨于 時，如果這個比的極限存在，則稱這極 l l? ( , )P x x y y? ? ? ? ? l()P U P??( , ) ( , )f x x y y f x y? ? ? ? ?PP?、22( ) ( )xy? ? ? ? ?P? lP返 回 下一頁 限為函數(shù) f(x,y)在點 P沿 方向 的方向?qū)?shù)，記 作 ，即 圖 89 ly?O?xy?Px?P?lfl??0( , ) ( , )l i mf f x x y y f x yl ? ??? ? ? ? ? ???返 回 下一頁 上一頁 定理 如果函數(shù) z=f(x,y)在點 P(x,y)是可微 分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的導數(shù)都存 在且有 其中 為 x軸到方向 的轉(zhuǎn)角 . 證 根據(jù)函數(shù) z=f(x,y)在點 P(x,y)是可微 分的假定，函數(shù)的增量可以表達為 c o s si nf f fl x y??? ? ???? ? ?? l( , ) ( , ) ( )fff x x y y f x y x y oxy ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???返 回 下一頁 上一頁 兩邊各除以 ，得到 所以 ?( , ) ( , )f x x y y f x y?? ? ? ? ?()f x f y oxy?? ? ?? ? ? ?? ? ???()c os si nf f oxy??????? ? ???返 回 下一頁 上一頁 這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為 0( , ) ( , )l i m f x x y y f x y? ??? ? ? ? ?c os si nffxy????????c o s si nf f fl x y??? ? ???? ? ?返 回 下一頁 上一頁 對于三元函數(shù) u=f(x,y,z)來說，它在空間一 點 P(x,y,z)沿著 (設(shè)方向 的方向為 )的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為 其中 ， 同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點處可 微分，那么函數(shù)在該點沿著方向 的方向?qū)?shù) l l ? ? ?、0( , , ) ( , , )l imf f x x y y z z f x y zl ? ??? ? ? ? ? ? ? ???2 2 2( ) ( ) ( )x y z? ? ? ? ? ? ?c o s ,x ????c o s , c o s .yz? ? ? ?? ? ? ?l返 回 下一頁 上一頁 為 c os c os c osf f f fl x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?返 回 下一頁 上一頁 二、梯度 在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在平面 區(qū)域 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點 P(x,y)∈D ，都可以定出一個向量 這向量稱為函數(shù) z=f(x,y)在點 P(x,y)的 梯度 ， 記作 ，即 ffijxy?????g r a d ( , )f x yg r a d ( , ) fff x y i jxy??????返 回 下一頁 上一頁 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的 方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的 模為方向?qū)?shù)的最大值 . 由梯度的定義可知，梯度的模為 一般來說二元函數(shù) z=f(x,y)在幾何上表示一 個曲面，這曲面被平面 z=c(c是常數(shù) )所截得的 曲線 L的方程為 22g r a d ( , )fff x yxy???????? ???????? ??返 回 下一頁 上一頁 這條曲線 在 xOy面 的投影是一條平面曲 線 (圖 810)，它 在 xOy平面直角坐標 系中的方程為 圖 810 ( , )z f x yzc??? ??yO xg r a d ( , )f x y1( , )f x y c?( , )f x y c?2( , )f x y c?*LL*L( , )f x y c?返 回 下一頁 上一頁 對于曲線 上的一切點，已給函數(shù)的函數(shù)值都 是 c，所以我們稱平面曲線 為函數(shù) z=f(x,y)的 等高線 . 由于等高線 f(x,y)=c上任一點 P(x,y)處的 法線斜率為 所以梯度 *L11 xyxyfdy ffdx f? ? ? ??????????*Lffijxy?????返 回 下一頁 上一頁 為等高線上點 P處的法向量 .因此我們可得梯度 與等高線的下述關(guān)系：函數(shù) z=f(x,y)在點 P(x,y) 的梯度方向與過點 P的等高線 f(x,y)=c在這點的 法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線 指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù) 在這個法線方向的方向?qū)?shù) .這個法線方向就是 方向?qū)?shù)取得最大值的方向 . 對于三元函數(shù)來說，函數(shù) u=f(x,y,z)在空 間區(qū)域 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對每一點 ，都可定出一個向量 ( , , )P x y z G?返 回 下一頁 上一頁 這向量稱為函數(shù) u=f(x,y,z)在點 P(x,y,z)的 梯 度 ，將它記作 ，即 如果我們引進曲面 f f fi j kx y z? ? ???? ? ?g r a d ( , , )f x y zgr a d ( , ) f f ff x y i j kx y z? ? ?? ? ?? ? ?( , , )f x y z c?返 回 下一頁 上一頁 為函數(shù) u=f(x,y,z)的 等量面 的概念，則可得函 數(shù) u=f(x,y,z)在點 P(x,y,z)的梯度的方向與過 點 P的等量面 f(x,y,z)=c在這點的法線的一個方 向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高 的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方 向的方向?qū)?shù) . 返 回 上一頁 一 .多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 二 .條件極值 第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 返 回 習題 第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù) 在點 的 某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于 的點 ：如果都適合不等式 則稱函數(shù)在點 有 極大值 ；如 果都適合不等式 ( , )z f x y? 00( , )xy00( , )xy( , )xy00( , ) ( , )f x y f x y?00( , )xy 00( , )f x y返 回 下一頁 則稱函數(shù)在點 有 極小值 .極大 值、極小值統(tǒng)稱為 極值 .使函數(shù)取得極值的點稱 為 極值點 . 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到 n 元函數(shù) .設(shè) n元函數(shù) 在點 的某一鄰 域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)有異于 的任 何點 都不適合不等式 00( , ) ( , )f x y f x y?00( , )xy 00( , )f x y()u f P? 0P0PP返 回 下一頁 上一頁 則稱函數(shù) 在點 有 極大值 (極小值 ) . 定理 1(必要條件 ) 設(shè)函數(shù) 在 點 具有偏導數(shù)，且在點 處有極 值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零： 證 不妨設(shè) 在點 處 有極大值 .依極大值的定義，在 的某鄰 00( ) ( ) ( ( ) ( ) )f P f P f P f P?? 　　()fP0P 0()fP( , )z f x y?00( , )xy 00( , )xy0 0 0 0( , ) 0 , ( , ) 0xyf x y f x y??　( , )z f x y?00( , )xy00( , )xy返 回 下一頁 上一頁 域內(nèi)異于 的點 都適合不等式 特殊地，該鄰域內(nèi)取 而 的點，也 應合適不等式 這表明一元函數(shù) 在 處取得極大 值，因而必有 ( , )xy00( , )xy00( , ) ( , )f x y f x y?0yy? 0xx?0 0 0( , ) ( , )f x y f x y?0( , )f x y 0xx?00( , ) 0xf x y ?返 回 下一頁 上一頁 類似地可證 如果三元函數(shù) 在點 具有偏導數(shù)，則它在點 具有極值