多元函數(shù)的極限及連續(xù)性-在線瀏覽
2024-09-15 03:34本頁面
【正文】 yxfxxkxy取點(diǎn) P沿拋物線路徑 x= ky2趨于原點(diǎn) ,則有 442400l i m),(l i m2 yykkyyxfyykyx ????? .1 2kk??該結(jié)果與 k有關(guān) , 故所求的二重極限不存在 . 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)二元函數(shù) ),()( yxfPf ?的定義域?yàn)?D， ),( 000 yxP 是其聚點(diǎn)， 且 P0?D, 如果 ),(),(lim ),(),( 0000yxfyxfyxyx ??則稱函數(shù) )(Pf 在點(diǎn) 0P 處連續(xù) . 如果函數(shù) f (x, y)在 D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù) f (x, y)在 D上連續(xù) ， 或者稱 f (x, y)是 D上的連續(xù)函數(shù) . 二元連續(xù)函數(shù)的圖形是一個無孔、無縫的曲面 . 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxf 的定義域?yàn)? ,D ),( 000 yxP是其聚點(diǎn) ， 如果函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),( 000 yxP 不連續(xù)， 則稱 ),( 000 yxP 為函數(shù) ),( yxf 的間斷點(diǎn) . 函數(shù) 22221( , ) ( ) si nf x y x yxy?? ?在點(diǎn) (0, 0)無定義 , 故 (0, 0)是函數(shù)的間斷點(diǎn) . 函數(shù) 22, ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) .xyxyxyf x yxy????? ?? ??在原點(diǎn)處無極限 , 故該函數(shù)在原點(diǎn)處間斷 . 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 .所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 . ).()(lim 00PfPfPP ??一般地， 時，求 )(l i m0PfPP ? 如果 f ( P )是初等函數(shù) 且 0P 是 f (P)的定義域內(nèi)的點(diǎn)， 則 f (P)在點(diǎn) 0P 處連續(xù)， 于是 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在 D上有界，且能取得它的最大值和最小值 . 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)必取 得介于最大值和最小值之間的任何值 . （ 1）最大值和最小值定理 （ 2）介值定理 練習(xí) 1 .)s in (lim)2,0(),( xxyyx ?求練習(xí) 2 求極限 .)s i n (lim 222)0,0(),( yxyxyx ??練習(xí) 3 證明 263)0,0(),(l i m yx yxyx ?? 不存在 . 練習(xí) 5 討論函數(shù) ??????????)0,0(),(,0)0,0(),(,),( 2233yxyxyxyxyxf在 (0,0)處的連續(xù)性．
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