高三年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期第三次理科月考試題-在線瀏覽
2025-01-14 06:59本頁面
【正文】 知函數(shù) )(xf 滿足 Cxxfxxf ?????????? 23 3239。f為 )(xf 在 點(diǎn) 32?x 處 的導(dǎo)數(shù) ， C 為常數(shù) ） ． （ 1） 求 函數(shù) )(xf 的單調(diào)區(qū)間； （ 2） 若方程 0)( ?xf 有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù) C ； CBA1A1C1BPQzyOx （ 3） 在（ 2）的條件下，若 031 ????????f，求 函數(shù) )(xf 的圖象與 x 軸圍成的封閉圖形的面積 ． 解 ：（ 1）由 Cxxfxxf ?????????? 23 3239。23)(39。23233239。 ????????f， ∴ Cxxxxf ???? 23)( ． ?????????????????????????????? 2 分 從而 ? ?1313123)(39。 xf ＋ 0 － 0 ＋ )(xf ↗ 有極大值 ↘ 有極小值 ↗ ∴ )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間是 )31,( ??? 和 ),1( ?? ； )(xf 的單調(diào)遞減區(qū)間是)1,31(? ． ?????? 4 分 （ 2）由（ 1）知， CCfxf ????????? ???????? ???????? ???????? ?? 27531313131)]([23極大值； CCfxf ???????? 1111)1()]([ 23極小值 ． ?????????????????????? 6 分 ∴ 方程 0)( ?xf 有 且 只 有兩 個(gè) 不等 的 實(shí)數(shù) 根 ，等 價(jià) 于 0)]([ ?極大值xf 或0)]([ ?極小值xf ． ??? 8 分 ∴ 常數(shù) 275??C 或1?C ． ?????????????????????????????? 9 分 （ 3）由（ 2）知， 275)( 23 ???? xxxxf 或 1)( 23 ???? xxxxf ． 而 031 ????????f， 所 以1)( 23 ???? xxxxf ． ?????????????????????? 10 分 令 01)( 23 ????? xxxxf ，得 0)1()1( 2 ??? xx ， 11 ??x ， 12?x ． ??????????? 12 分 ∴ 所 求 封 閉 圖 形 的 面 積? ?? ? ???? 1 1 23 1 dxxxx 11234 213141??????? ???? xxxx 34? ． ?????? 14 分 18．（本小題滿分 14 分） 如圖 5， G 是 △ OAB 的 重心 ， P 、 Q 分別是邊 OA 、 OB 上的動(dòng)點(diǎn)，且 P 、 G 、 Q 三點(diǎn)共線 ． （ 1）設(shè) PQPG ?? ，將 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示； （ 2） 設(shè) OAxOP? ， OByOQ ? ，證明：yx 11?是定值； （ 3）記 △ OAB 與 △ OPQ 的面積分別為 S 、 T ． 求 ST 的取值范圍 ． 解： （ 1） )( OPOQOPPQOPPGOPOG ??????? ?? OQOP ?? ??? )1( ． ???????????????? 2 分 （ 2）一方面，由（ 1），得 OByOAxOQOPOG ???? ?????? )1()1( ；① 另一方面，∵ G 是 △ OAB 的 重心 ， ∴OBOAOBOAOMOG 3131)(213232 ?????? ． ② ???????? 4 分 而 OA 、 OB 不共線，∴由①、 ②，得????????.31,31)1(yx?? ??????????????????? 6 分 解 之 ， 得??????????.31,331??yx ， ∴ 311 ??yx（定值） ． ????????????????????? 8 分 （ 3 ）xyOBOQOAOPA O BOBOAP O QOQOPST ???????? || |||| ||s in||||21s in||||21 ．?????????????????10 分 OA BPQMG5圖 由點(diǎn) P 、 Q 的定義知 121 ??x， 121 ??y， 且21?x時(shí)， 1?y ； 1?x 時(shí)，21?y．此時(shí)，均有21?ST． 32?x 時(shí)， 32?y ．此時(shí)，均有 94?ST ． 以下證明： 2194 ??ST ． （ 法一 ）由（ 2）知 13 ?? xxy ， ∵ 0)13(9 )23(941394 22 ???????? xxxxST，∴94?ST．???????????????????? 12 分 ∵ 0)13(2 )12)(1(211321 2 ?? ??????? x xxxxST，∴ 21?ST ． ∴ ST 的取值范圍]21,94[．???? ?????????????????????????? 14 分 （ 法二 ）???????????????????? 32)31(91)31(31132xxxxxyST ， 令 31??xt ，則 ?????? ??? 329131 ttST，其中 3261 ??t ． 利用導(dǎo)數(shù)，容易得到，關(guān)于 t 的函數(shù) ???
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