【正文】 其中有180000張認購券會中簽，(見1993年7月30日上海證券報)。一個隨機事件A發(fā)生可能性的大小用這個事件的概率P(A)來表示。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小?！　?一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點如下:　　(1)所涉及的隨機現(xiàn)象只有有限個樣本點，設(shè)共有n個樣本點；　　(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個樣本點，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點可用數(shù)對(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)?！　?1)定義事件A=“點數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個樣本點，故P(A)=1/36。　　(3)定義事件C=“點數(shù)之和超過9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個樣本點，故P(C)=6/36 =1/6?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式?！　?1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法?！　?2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法?！　?3)排列:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素排成一列稱為一個排列。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復排列:從n個不同元素中每次取出一個作記錄，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復排列。注意，這里的r允許大于n。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040?！　±纾瑥?0個產(chǎn)品中任取4個做檢驗，所有可能取法是從10個中任取4個的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因為取出的4個產(chǎn)品的全排列有4!=24種?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個，其中不合格品有M個，現(xiàn)從中隨機取出n個(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個不合格品”的概率是多少?　　從N個產(chǎn)品中隨機抽取n個共有　　個不同的樣本點，它們組成這個問題的樣本空間Ω。以后對“隨機抽取”一詞都可作同樣理解?！　∈录嗀0=“恰好有0個不合格品”=“全是合格品”。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個不合格品”，要使取出的n個產(chǎn)品只有一個不合格品，其他n1個是合格品，可分二步來實現(xiàn)。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個樣本點。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個樣本點。綜合這兩個不等式，可知m≤min(n，M)=r。因為10個產(chǎn)品中只有2個不合格品，而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個，不放回，再抽下一個，這相當于n個同時取出。放回抽樣是抽一個，將其放回，均勻混合后再抽下一個?！　腘個產(chǎn)品中每次隨機抽取一個，檢查后放回再抽第二個，這樣直到抽出第n個產(chǎn)品為止。　　事件B0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個合格品中用放回抽樣方式隨機抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個不合格品中抽一次。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點的個數(shù)共有nM(NM)n1。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當m=n時，P(Bn)=(M/N)n。先計算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率。　　(二)統(tǒng)計定義　　用概率的統(tǒng)計定義確定概率方法的要點如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機現(xiàn)象是可以大量重復試驗的；　　(2)若在n次重復試驗中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大小；　　(3)頻率fn(A)將會隨著重復試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復試驗，(正面)的變化情況，在重復次數(shù)N較小時，f波動劇烈，隨著N的增大，f波動的幅度在逐漸變小。其結(jié)果()表明。這與用古典方法計算的概率是相同的。人們對各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計。這項研究在計算機鍵盤設(shè)計(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的。特別當A與B不相容時，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對于多個互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。A3中所含這樣的樣本點較多，但其對立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個樣本點，從等可能性可知P()=1/8。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場比賽中至少有一場獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。　　性質(zhì)6:對任意兩個事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個等式成立要求P(B)0，第二個等式成立要求P(A)0。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個條件概率也可以這樣來認識:當已知事件B發(fā)生，就意味著其對立事件是不會發(fā)生了?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B。這與公式計算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋。　　　　[]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲?！　?2)獨立性和獨立事件的概率　　設(shè)有兩個事件A與B，假如其中一個事件的發(fā)生不依賴另一個事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨立。這是因為:　　　　〔]，如今有三個標本獨立地在實驗室制作，問三個標本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個實驗室標本被污染”，i=1，2，3。　　一、隨機變量　　用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量?！　〖偃缫粋€隨機變量僅取數(shù)軸上有限個點或可列個點()，則稱此隨機變量為離散隨機變量，或離散型隨機變量?！　　　，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機性，所以每個質(zhì)量特性就是一個隨機變量。可用隨機變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個”等等。因為X取0，1，2，…等值是隨機的?！　?2)一臺電視機的壽命X(單位:小時)是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機變量:“X=0”表示事件“一臺電視機在開箱時就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機壽命不超過10000小時”，“X40000”表示事件“電視機壽命超過40000小時”。設(shè)X表示檢驗一個產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個值的隨機變量。類似地，檢驗10個產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個值的離散隨機變量。　　二、隨機變量的分布　　隨機變量的取值是隨機的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個規(guī)律性可以用分布來描述。　　(2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機變量和連續(xù)隨機變量來敘述它們的分布，因為這兩類隨機變量是最重要的兩類隨機變量，而它們的分布形式是有差別的。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個簡明的數(shù)學式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1?！　±齕]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個隨機現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點出現(xiàn)的個數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點數(shù)之和”:　　　　這些隨機變量X，Y都是各從一個側(cè)面表示隨機現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個隨機變量的值是隨機的，但其分布告訴我們每個隨機變量取值概率，使人們不僅對全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最??；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最??；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個概率都是非負的，其和均為1。X取這些值的概率為():　　具體計算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機會最大。Y取這些值的概率為():　　具體計算可得如下分布列:　　這個分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計方法整理出如下分布:　　從這個分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過5個不合格品的概率很小，這兩個事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機變量的分布　　連續(xù)隨機變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)。當數(shù)據(jù)個數(shù)很多，分組很細時，連接直方圖中每個矩形上邊中點的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。　　假定我們一個接一個地測量產(chǎn)品的某個質(zhì)量特性值X，把測量得到的x值一個接一個地放在數(shù)軸上。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機取值內(nèi)在的統(tǒng)計規(guī)律性。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請讀者在圖上標明)?！　〉貐^(qū)(b)?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計算:　　順便指出，在計算面積時，一條直線的面積為零，譬如在這個例子中P(T=100)=0，即該推土機完成維修時間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)。類似地，該推土機發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%?！　【涤脕肀硎痉植嫉闹行奈恢?，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機變量X的平均值為5。它的計算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號含義相同，這里不再重復。方差的計算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對方差開方，記它的正平方根為σ，稱為標準差:　　由于σ與X的單位相同，在實際中更常使用標準差σ來表示分布散布大小，但它的計算還是要通過先計算方差，然后開方來獲得。　　在〔]中隨機變量“擲兩顆骰子，點數(shù)之和Y”的均值、方差和標準差分別為:　　　　計算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點數(shù)之和的均值為7點、?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標準差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機的維修時間T的均值為:　　　　這表明推土機發(fā)生故障時，平均維修時間是50分鐘。由此可知，推土機維修時間T的標準差σ=50分鐘。其中垂線高度就是相應(yīng)的概率?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小?！　》粗粢讲畲?，則和式中必有某些乘積項較大，也