高三數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差-在線瀏覽
2025-01-13 00:24本頁面
【正文】 較為集中，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確狀況、武器的性能等很多指標(biāo)與這兩個(gè)特征數(shù) ( 期望、方差 ) 有關(guān)． 1 ． (2020 年上海 ) 某學(xué)校要從 5 名男生和 2名女生中選出 2 人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量 ξ 表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ ________( 結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示 ) ． 【解析】 首先 ξ ＝ { 0,1,2} ． ∵ P ( ξ ＝ 0) ＝C25C27＝1021， P ( ξ ＝ 1) ＝C12 C15C27＝1021，P ( ξ ＝ 2) ＝C22C27＝121， ∴ Eξ ＝ 0? 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 考綱點(diǎn)擊 值、方差的意義 . 布列求出期望值、方差 . 熱點(diǎn)提示 題的形式考查期望、方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用 . 的關(guān)鍵 . 1 ． 期望 (1) 若離散型隨機(jī)變量 ξ 的概率分布列為 ξ x 1 x 2 ? x n ? P p 1 p 2 ? p n ? 則稱 Eξ ＝ _________ _________ ______ 為 ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ ? ＋ x n p n ＋ ? ? (2)離散型隨機(jī)變量的期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． ? (3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)． ? ① E(C)＝ ____(C為常數(shù) )． ? ②若 ξ是隨機(jī)變量， η＝ aξ＋ b(a， b為常數(shù) )，則 E(aξ＋ b)＝___________. C aEξ＋ b 2 ． 方差 (1) 概念 如果離散型隨機(jī)變量 ξ 所有可能取的值是x 1 ， x 2 ， ? ， x n ， ? ，且取這些值的概率分別是 p 1 ， p 2 ， ? ， p n ， ? ，設(shè) Eξ 是隨機(jī)變量 ξ 的期望 ，那么把 Dξ ＝ _ __ ____ ___ __叫做隨機(jī)變量 ξ 的均方差，簡稱 ______ ． 方差 Dξ 的算術(shù)平方根 Dξ 叫做隨機(jī)變量 ξ 的_________ _ ，記作 _ __ __ .隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的 _________ ______ ___ _________ _ 的程度．其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有 ____________ ． (2) 性質(zhì) ① D ( C ) ＝ 0( C 為常數(shù) ) ． ② D ( aξ ＋ b ) ＝ _______ . 標(biāo)準(zhǔn)差 σξ 穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散 相同的單位 a2Dξ 3 ． 二項(xiàng)分布與幾何分布的期望與方差 (1) 二項(xiàng)分布 若 ξ ～ B ( n ， p ) ，則 Eξ ＝ ___ ， Dξ ＝ _________ ． (2) 幾何分布 若 ξ 服從幾何分布，則 P ( ξ ＝ k ) ＝ g ( k ， p ) ， Eξ ＝ ____ ， Dξ ＝ _______ . np (1 － p ) np 1p 1－ pp2 1 ．若隨機(jī)變量 X 的分布列如表，則 EX ＝( ) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A.118 B.19 C.209 D.920 【解析】 由分布列的性質(zhì)， 可得 2 x ＋ 3 x ＋ 7 x ＋ 2 x ＋ 3 x ＋ x ＝ 1 ， ∴ x ＝118. ∴ EX ＝ 0 2 x ＋ 1 3 x ＋ 2 7 x ＋ 3 2 x ＋4 3 x ＋ 5 x ＝ 40 x ＝209. ? 【 答案 】 C ? 2．簽盒中有編號為 6的六支簽，從中任意取 3支，設(shè) X為這 3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則 X的數(shù)學(xué)期望為 ( ) ? A． 5 B． ? C． D． 【解析】 由題意可知， X 可以取 3,4,5,6 ， P ( X ＝ 3) ＝1C36＝120， P ( X ＝ 4) ＝C23C36＝320， P ( X ＝ 5) ＝C24C36＝310， P ( X ＝ 6) ＝C25C36＝12. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得 EX ＝ . ? 【 答案 】 B 3 ．已知 ξ 的分布列為 ( ) ξ － 1 0 1 P 12 13 16 則在下列式子中， ① Eξ ＝－13； ② Dξ ＝2327； ③ P ( ξ ＝ 0) ＝13. 正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【解析】 Eξ ＝ ( － 1) 12＋ 1 16＝－13，故 ①正確． Dξ ＝ ( － 1 ＋13)212＋ (0 ＋13)213＋ (1 ＋13)216＝59，故 ② 不正確． ③ 顯然正確． ? 【 答案 】 C ? 4．某人進(jìn)行射擊，每次中靶的概率均為 ，現(xiàn)規(guī)定：若中靶就停止射擊；若沒中靶，則繼續(xù)射擊．如果只有 3發(fā)子彈，則射擊次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望為 ________． (用數(shù)字作答 ) 【 解析 】 射擊次數(shù) X的分布列為 X 1 2 3 P EX＝ 1＋ 2＋ 3＝ . 【 答案 】 5 ． A 、 B 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如表所示： A 機(jī)床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 概率 P B 機(jī)床 次品數(shù) X2 0 1 2 3 概率 P 由此可以判定機(jī)床 __ ______ 的加工質(zhì)量較好． 【解析】 ∵ EX 1 ＝ 0. 44 ； EX 2 ＝ . DX 1 ＝ 6 4 ； DX 2 ＝ 6 4. ∴ 機(jī)床 A 加工質(zhì)量更好一些． ? 【 答案 】 A 離散型隨機(jī)變量均值與方差的計(jì)算 (2020 年山東高考 ) 甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每
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