【正文】 ； (II)當(dāng) )()()(:,0,0 212121 xxfxfxfxx ????? 證明時(shí) ； (III)已知不等式 01)1ln( ????? xxxx 且在 時(shí)恒成立， 求證： ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 解析 :(I) 0)()(39。2 ??? x xfxxfxg,所以函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) (II)因?yàn)?),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) ,所以 )()()()(2121 1121 211 1 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? )()()()( 2121 2221 212 2 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? 兩式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf ??? (3) )()()()(2121 1121 211 1 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? )()()()( 2121 2221 212 2 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ?…… )()()()( 212121 21 nnnnn nn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? 相加后可以得到 : )()()()( 2121 nn xxxfxfxfxf ??????? ?? 所以 )l n ()(lnlnlnln 2121332211 nnnn xxxxxxxxxxxxxx ??????????? ??? 令2)1( 1nxn ??, 有 ????????? ??????? 22222222 )1l n()1( 14ln413ln312ln21 nn? ???????? ????????????? ????? 2222222 )1( 13121ln)1( 1413121 nn ?? ?????? ??????????????? ????? nnn )1( 123 112 1ln)1( 13121 222 ?? )2)(1(2212111 ?????????? ???????? ??? nn nnn 所以 ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? (方法二 ) ?????? ????????? ???? 21114ln)2)(1( 4ln)2)(1( )1l n()1( )1l n( 22 2 nnnnnn nn n 所以)2(2 4ln21214ln)1l n()1( 14ln413ln312ln21 22222222 ???????? ????????? nnnnn? 又1114ln ??? n,所以).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 例 16.(2020 年福州市質(zhì)檢 )已知函數(shù) .ln)( xxxf ? 若 ).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ), ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? .2021,0)(,ln1)l n (1ln)(.0),l n ()(ln)(,ln)(kxkxk kxxk xxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf????????????????????????????則有令?? ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在）上單調(diào)遞增，在 ]2,0(k上單調(diào) 遞減 . ∴ )(xg 的最小值為 )2(kg，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkkkkkkfkfkg ???????? ,2ln)()( kkfxg ??? 即 .2ln)()()( kkfxkfxf ???? 令 , bxkax ??? 則 .bak ?? .2ln)()()()( babafbfaf ?????? ).()(2ln)()( bfbafbaaf ?????? 三、分式放縮 姐妹不等式 : )0,0( ?????? mabma mbab和 )0,0( ?????? mbama mbab 記憶口訣 ”小者小 ,大者大 ” 解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號(hào)是小于號(hào) ,反之 . 例 19. 姐妹不等式 : 12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn?和 12 1)211()611)(411)(211( ?????? nn?也可以表示成為 12)12(531 2642 ??????? ??? nn n? ? 和 12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn?? 解析 : 利用假分 數(shù)的一個(gè)性質(zhì) )0,0( ?????? mabma mbab可得 ???? 12 2563412 n n? ???? nn2 12674523 ? )12(2 1265432 ????? nnn? ? 12)12 2563412( 2 ????? nn n? 即 .12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn? 例 : .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 解析 : 運(yùn)用兩次次分式放縮 : 13 13784512 ???????????? n nnn ?? (加 1) nnnn 3 13784512 ???????????? ?? (加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(13 2387542113 13784512 2 ?????????????????????? ?????? nnnnnnn ??? 所以有 .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 四、分類放縮 例 :212 131211 nn ?????? ? 解析 : ??????????????? ?? )21212121()4141(21112 131211 3333n 2)211(221)212121( nn nnnnn ???????? ? 例 22.(2020 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 ) 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中 , y 軸正半軸上的點(diǎn)列 ??nA 與曲線 xy 2? （ x ≥0）上的點(diǎn)列 ??nB 滿足nOBOA nn 1??，直線 nnBA 在 x 軸上的截距為 na .點(diǎn) nB 的橫坐標(biāo)為 nb , ??Nn . (1)證明 na 1?na 4， ??Nn 。 所以，取 40090 22n ??，對(duì) 0nn??都有： 20202 14017111 012312 ????????????? ??????????? ?????????? ? ? nnnn SSbbbbbb ? 故有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020?n 成立。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當(dāng) kn 2? 時(shí) , 12?kTn, 因此，對(duì)任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當(dāng) 222 ?? mn 時(shí) ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對(duì)所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(2020年 中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域?yàn)?nD,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當(dāng) 2?n 時(shí) ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因?yàn)閚nnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn,求證 :當(dāng) 2?n 時(shí) ,nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過(guò)迭代的方法得到1212 ??? nnx,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè)nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對(duì)任意的正整數(shù) k,若 k≥n 恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?????? ??????????? 2 12 12 1|2 )s i n(||2 )!2s i n(||2 )!1s i n(| 2121 ?? nknkn 21)211(21)212121(21 2 ???????? ? 又 nCCC nnnnnn ??????? ?10)11(2 所以nSS nnkn 121|| ???? 六 、 借助數(shù)列遞推關(guān)系 例 : 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 nnnnn anaananna ??????? ?? 2)1(2)1(2 12 11,從而 nnn naana 2)1(2 1 ??? ?,相加后就可以得到 122 1)22(132 1)1(22)1(2 1121 ???????????????? ? nnnnaanaaa nn? 所以 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 例 28. 求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nna n 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 111 )12(]1)1(2[)1(2 12 ??? ????????? nnnnn aanananna,從而 nnn anana )12(]1)1(2[ 11 ????? ?? ,相加后就可以得到 1122312 1)12(3)12( 1121 ?????????????? ? nnnaanaaa nn? 例 29. 若 1,1 11 ???? ? naaa nn ,求證 :)11(2111 21 ?????? naaa n? 解析 : nnnnnnn aaaaanaa ????????? ????? 21112 112 所以就有 2122111121121121 ????????????? ?? naaaaaaaaaaa nnnnn? 七 、 分類討論 例 }{na 的前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 .1,)1(2 ???? naS nnn 證明：對(duì)任意的整數(shù) 4?m ，有 8711154 ???? maaa ? 解析 :容易得到 ? ?.)1(232 12 ?? ??? nnna, 由于通項(xiàng)中含有 n)1(? ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：