【正文】 的常數(shù)變易為待定函數(shù)，最后得出滿足非齊次方程的通解。一階線性非齊次常微分方程具有以下形式， （）其中，是的連續(xù)函數(shù)。通過分離變量，得到兩邊積分，其中為任意常數(shù)。下面運用常數(shù)變易法，求解非齊次方程（）的通解。下面我們引出齊次化原理，并用其求解滿足初始條件的一階方程的解。下面驗證齊次化原理是成立的。證明完畢。 齊次化原理的推廣齊次化原理不僅僅可以用于求解一階線性非齊次微分方程，還可以應用于高階線性非齊次微分方程以及方程組的求解。1） 若是方程的解，則就是的解。其中，證明：類似于求解一階線性常微分的方法，通過齊次化原理，我們可以得到以下結論：若是方程組（1）的基解矩陣，那么它的通解是，于是（1）的解就是。根據(jù)疊加原理，可以求出初值問題的解為，這個結論與大家熟知的常數(shù)變易公式是一致的。 小結齊次化原理對于線性非齊次常微分方程（組）的求解是一種很有用的工具，對于非齊次微分方程（組），只需求解出相應的齊次方程（組）就可以得到非齊次方程（組）的解，省去了很多繁瑣的求解過程。第3章波動方程的求解與齊次化原理的應用在上一章中，我們介紹了在一階線性非齊次常微分方程求解過程中齊次化原理的應用，并且把齊次化原理推廣到了高階線性非齊次微分方程以及方程組的求解中。在數(shù)學物理方程的學科中，波動方程、熱傳導方程以及調和方程是三個具有很強實際背景意義的二階線性偏微分方程，并且它們分別屬于雙曲方程、拋物方程以及橢圓方程的范疇。齊次化原理被廣泛應用于非齊次波動方程以及熱傳導方程的求解中，于是本章就波動方程的求解與齊次化原理的應用展開討論。最后本章對齊次化原理的應用進行了推廣，考慮在非齊次邊界條件下如何構造輔助函數(shù)將邊界齊次化，再應用齊次化原理求解方程。 波動方程的初值問題的求解為了求解波動方程的定解問題，我們先從最簡單的入手，即初值問題。 齊次初值問題的求解齊次波動方程的初值問題具有以下形式， （）要求解這個方程，我們可以通過變換自變量的方法，首先引入新的自變量，根據(jù)復合函數(shù)求導法則，可求得同理可得，于是，從而方程（）中的泛定方程可化為， （）容易看出，方程（）的通解可表示為，則，方程（）中的泛定方程通解為， （）于是， （） （）對（）積分可得， （）其中，為常數(shù)，為任意一點。 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應用在上一小節(jié)中，我們通過達朗貝爾解法求出了齊次波動方程的初值問題解的表達式，下面我們就引出齊次化原理進一步求解非齊次方程的初值問題。首先將方程（）分解為：（i）（ii）若已知方程（i）的解為，（ii）的解為，則根據(jù)疊加原理，（）的解可表示為對于方程（i），我們利用上一節(jié)的結論，可以直接得出它的解為， （）于是我們下面就只要求出方程（ii）的解，首先引出齊次化原理。為了驗證齊次化原理，我們首先引入含參變量積分的微分公式。本公式的證明見附錄1。通過驗證，我們可以得出齊次化原理的可行性，下面我們就利用這個原理來解決在波動方程求解中將的非齊次方程轉化為相應的齊次方程來進行求解的問題。即，若已知是齊次方程 （）的解，那么便是初值問題（ii）的解。由達朗貝爾公式可知，（）的解為，于是根據(jù)齊次化原理，就得出初值問題（ii）的解，即 （）下面驗證（）是初值問題（ii）的解，由含參變量積分的微分公式，可得到，于是有，又容易得知，于是可以證明，就是初值問題（ii）的解。然后通過齊次化原理，將非齊次方程轉化為相應的齊次方程，并且求出了齊次方程的解的表達式，即達朗貝爾公式。最后通過疊加原理，得出了方程的最終解的表達式。在初邊值問題中，齊次化原理同樣成立。 齊次波動方程初邊值問題的求解類似于上一節(jié)初值問題的求解，我們先解決齊次方程初邊值的求解問題。在方程（）中，令 （）其中， 是僅與相關的函數(shù)，是僅與相關的函數(shù)。于是就可以得到兩個常微分方程 （）以及， （）再考慮相關的邊界條件，于是就有方程 （）對于方程（）的解，隨著以及的不同情況而不同，于是我們分三種情況討論它的解。2） 當時，方程的通解可以表示為，要使其滿足邊界條件，則只有3） 當時，方程的通解有以下形式，由邊界條件可得。于是有這樣方程（）的解就可以寫成 （）下面我們求出滿足初始條件的。 非齊次波動方程初邊值問題的求解與齊次化原理的應用在上一節(jié)中，我們通過運用分離變量法成功求解出齊次波動方程初邊值問題解得表達式，然而在非齊次的情況下，我們還是要先將非齊次方程轉化成相應的齊次方程來進行處理。在本節(jié)中，我們同樣首先把方程化簡為一個齊次方程與一個非齊次方程，再運用齊次化原理把非齊次方程的求解轉化為相應的齊次方程的求解，即通過分離變量法求出齊次方程的解，進而得出非齊次方程的解，最后通過疊加原理得到最終的解的表達式。（1）齊次化原理若是初邊值問題 （）的解，則是方程 （）的解。接下來我們只需驗證當時，的值即可。（2）非齊次方程的求解對方程（II）應用齊次化原理，可知，若是初邊值問題 （）的解，則就是方程（II）的解。直接利用（）的結論，可以得出方程（）的解為， （）其中，把代入（）即可得到方程（）的解， （）其中于是方程（II）的解為， （）其中于是，根據(jù)疊加原理，初邊值問題（）的解為其中， 非齊次邊界條件下齊次化原理的應用，我們討論了齊次化原理在波動方程的初值以及初邊值問題中的應用，即齊次化原理在邊界為齊次的情況下是成立的。波動方程初邊值問題非齊次邊界條件的情形，即 （）這里要求是具有二階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，并且。我們在上一節(jié)中已經得出了，所以下面我們求解問題（III）的解。我們令 （）容易看