度量空間的定義與極限-在線瀏覽
2025-08-11 03:24本頁面
【正文】 ，所以()式有意義． 顯然非負性(1)和對稱性(2)成立，下面驗證三角不等式(3)也成立． 對于任意的有 □上述例子涉及到常用的六個度量空間： 維歐氏空間；離散度量空間；連續(xù)函數(shù)空間；有界數(shù)列空間；次冪可和的數(shù)列空間；次冪可積函數(shù)空間． 度量空間中的極限極限理論是數(shù)學分析的基礎, 數(shù)學分析主要研究微分和積分, 而極限又是微積分學大廈的基石，在數(shù)學分析中, 利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù), 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等概念，可見極限思想貫穿于整個數(shù)學分析課程，它也是高等數(shù)學必不可少的一種重要思想．同樣地，在度量空間中也可定義極限，而且分析中的數(shù)列極限可看成下列度量空間中點列極限的特例． 設是度量空間，是中點列，若， 則稱點列收斂于，稱為點列的極限． 記作，或或．收斂于用“”語言描述是: ，當時，恒有成立． 若點列不收斂，則稱其發(fā)散．□ 設是實數(shù)集，數(shù)列．若在上定義歐氏距離顯然，數(shù)列在度量空間中收斂于0．若在上定義離散距離則數(shù)列在度量空間中是發(fā)散的．因為對任意給定的， 只要，就有，所以無論多么大，有可見數(shù)列不收斂于．雖然與有共同的基本集，但由于定義的距離的不同，它們是兩個不同的度量空間，可見同一點列在一個度量空間中收斂，在另一度量空
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