【正文】 和，由得到第二個運(yùn)動方程： （21）設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即《1，則可以進(jìn)行近似處理：。由于輸出為角度，求解方程組（24）的第一個方程，可以得到把上式代入方程組（24）的第二個方程，得到整理后得到傳遞函數(shù)：其中 同理，得小車位移傳遞函數(shù)： 代入實(shí)際參數(shù)可得，擺桿傳遞函數(shù)為： 小車位移傳遞函數(shù)： 控制方法的選擇控制方法的選擇是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，就必須選擇行之有效的控制方法。 PID算法簡介在工程實(shí)際中，積分、簡稱PID控制，PID控制器問世至今已有近70年歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。得不到精確的數(shù)學(xué)模型時，控制理論的其它技術(shù)難以采用時，依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場調(diào)試來確定，這時應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。統(tǒng)和被控對象，或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時，控制，實(shí)際中也有PI和PD控制。(1)比例（P）控制：比例控制是一種最簡單的控制方式。其控制器的輸出與輸入誤差信號成比例關(guān)系。當(dāng)僅有比例控制時系統(tǒng)輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差控制器的輸出與輸入誤差信號的積分成正比關(guān)系。對一個自動控制系統(tǒng)，為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”分項(xiàng)對誤差取決于時間的積分，隨著時間的增加，積分項(xiàng)會增大。分項(xiàng)也會隨著時間的增加而加大，直到等因此，比例+積分（PI）控制器，可以使系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后無穩(wěn)態(tài)誤差。慣性組件（環(huán)節(jié)）或有滯后組件，具有抑制誤差的作用，其變化總是落后于誤差解決的辦法是使抑制誤差的作用的變化“超前”作用就應(yīng)該是零。是放大誤差的幅值，而目前需要增加的是“微分項(xiàng)”有比例+微分的控制器，就能夠提前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負(fù)值，從而避免所以對有較大慣性或滯后的被控對象，比例+微分（PD）控制器能改理想仿真PID控制器的輸出方程為： 式中，為比例系數(shù)；為積分時間；為微分時間；u（t）為PID控制器的輸入控制量；e（t）為PID控制器的輸出控制量；e(t)為PID為控制器輸入的系統(tǒng)誤差。一般PID控制器的設(shè)計分兩步進(jìn)行。第二步參數(shù)整定，當(dāng)被控對象數(shù)學(xué)模型已知且較為準(zhǔn)確，階數(shù)不高時可以用解析法。這些方法通過不太復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)，便能迅速獲得調(diào)節(jié)器的近似最佳整定參數(shù)。經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計時一般需要有關(guān)被控對象的較精確模型。PID控制的優(yōu)點(diǎn)可歸納為：（1）原理簡單、直觀、使用方便，易被工程技術(shù)人員接受。還可以通過微分控制對偏差給出控制量以提高系統(tǒng)的控制質(zhì)量。（2）應(yīng)用廣泛。PID控制器對許多的控制問題都能勝任，尤其是堆性能需求適中，負(fù)荷變化不大的過程效果更佳。（3）對控制模型的依賴性小，魯棒性好。本章小結(jié)在本章中我們在對倒立擺系統(tǒng)充分理解的基礎(chǔ)上，利用牛頓歐拉方法建立了倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了系統(tǒng)中擺角和小車位移輸出的傳遞函數(shù)，為在MATALAB中的仿真做好了基礎(chǔ)。第3章 基于MATLAB的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計 MATLAB軟件簡介MATLAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）是MATrixMATLAB是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)值計算以及數(shù)據(jù)分析的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境。除了矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)/數(shù)據(jù)圖像等常用功能外，MATLAB還可以用來創(chuàng)建用戶界面及與調(diào)用其它語言（包括C，C++和FORTRAN）編寫的程序。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進(jìn)水平。它在數(shù)學(xué)應(yīng)用類科技應(yīng)軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市場。Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn)Simulink已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計。Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。對各種時變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)，Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進(jìn)行設(shè)計、仿真、執(zhí)行和測試。Simulink與MATLAB緊密集成，可以直接訪問MATLAB大量的工具來進(jìn)行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號參數(shù)和測試數(shù)據(jù)的定義。如果系統(tǒng)的特征方程的所有根都有負(fù)實(shí)部，或者說，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都位于s左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 x=roots(p)運(yùn)行得到結(jié)果：x = 可以看出，系統(tǒng)特征方程有一個極點(diǎn)位于s右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 擺桿角度PID控制對擺桿角度的控制采用的結(jié)構(gòu)圖如圖31所示。該系統(tǒng)的輸出為：其中，——被控對象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)——被控對象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)——PID控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) ——PID控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 被控對象的傳遞函數(shù)是其中 PID控制器的傳遞函數(shù)為： 小車位移PID控制考慮到小車位移，采用的結(jié)構(gòu)圖如圖32所示。小車位置輸出為可以看出，den1=den2=den ,小車的算式可以簡化成： Simulink模型構(gòu)建新建一個模型，在Simulink中選擇合適的環(huán)節(jié)，搭建如圖33所示結(jié)構(gòu)圖。 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性分析 根據(jù)系統(tǒng)的Simulink框圖，我們可以得到引入PID控制后的開環(huán)傳遞函數(shù)，在MATLAB中輸入如下語句：num1=[ 0]。G1=tf (num1, den1)。den2=[1 ]。G=G1*G2運(yùn)行后得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： s^2 + ss^3 + s^2 s 引入反饋后，得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在MATLAB中輸入如下語句：numg =[ 0]。denh=[1][num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh,1)p=tf(num,den)運(yùn)行后得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)： s^2 + ss^3 + s^2 + s 求閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)：p=[1 ]。我們在對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時，我們是忽略掉了一些次要因素的 ，比如小車與地面之間的摩擦等，這就導(dǎo)致了我們得到的傳遞函數(shù)可能與系統(tǒng)的實(shí)際傳遞函數(shù)之間存在誤差，我們這里計算出來系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)有一個很小的正值，很可能就是因?yàn)檫@種原因的影響。圖34 Kp=10，Ki=Kd=0時擺桿角度輸出從圖34中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，=100，=0，=0，得到仿真結(jié)果如圖35所示。 圖36 Kp=100，Ki=0，Kd=,20時擺桿角度輸出由圖36可以看出，在脈沖響應(yīng)下，小車的擺角可以得到很好的控制。 圖37 脈沖響應(yīng)下小車的位移輸出從圖37可以看到，在脈沖響應(yīng)下，小車的將在水平面作往返運(yùn)動，且有收斂的趨勢。根據(jù)在脈沖響應(yīng)下調(diào)好的PID參數(shù)，仿真后，我們可以得到擺角和小車位移的輸出分別如圖38和39所示。同時，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以在階躍響應(yīng)下只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運(yùn)動。第4章 基于ADAMS的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計 ADAMS軟件介紹 ADAMS簡介ADAMS全稱Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems，即機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)自動分析。據(jù)統(tǒng)計資料表明，ADAMS軟件已經(jīng)占據(jù)了51%的市場