求方陣的冪的方法與技巧學(xué)士學(xué)位論文-在線瀏覽
2024-08-03 06:27本頁面
【正文】 為若爾當(dāng)塊，其中是復(fù)數(shù)。 對(duì)角化定義矩陣A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，如果存在一個(gè)P上的n級(jí)可逆矩陣X，使為對(duì)角矩陣，則稱矩陣A可對(duì)角化。結(jié)論2：在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換A的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根， 那么A在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。第二章 方陣的冪的求解方法與技巧 利用矩陣對(duì)角化的方法求方陣的冪定義1：我們知道，若與階對(duì)角陣相似，則可求出一個(gè)階可逆陣，使,于是。若階矩陣可分成塊對(duì)角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為簡單子陣的高次冪計(jì)算問題，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的．即對(duì)于分塊對(duì)角矩陣，有，其中均為方陣。解 易見A= ，于是 = = = = 上述方法就是把求的方冪的問題就轉(zhuǎn)化為求過度矩陣和對(duì)角陣的冪的問題。 利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形方法求方陣的冪定理1：設(shè)，則 與一個(gè)矩陣相似。則，故有．即如果方陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J與可逆矩陣P都已求出，只要計(jì)算出即可求出，則求的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為求。即當(dāng)J=，這時(shí)把分解為（）的形式，其中是階單位矩陣，是階冪零矩陣。因?yàn)槭莾缌憔仃?，?dāng)時(shí)，=0，所以有，于是 。解 ， 因?yàn)? 。解 的不變因子為，的初等因子為。則＝，所以＝。，所以。所以，可見該方法更具有一般性，應(yīng)用它可計(jì)算任何階矩陣的高次冪。對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（,k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。2．第二數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗(yàn)證，時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)n≤k時(shí)命題成立，并在此基礎(chǔ)上，推出n=k+1命題也成立。3．倒推歸納法又名反向歸納法（1）驗(yàn)證對(duì)于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n）成立（無窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無窮數(shù)列中的數(shù)，如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是，k≥1）；（2）假設(shè)P(k+1）（）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k）成立，綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立；4．螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(n），（1）驗(yàn)證時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)P(k）（）成立，能推出Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），P(n），Q(n）都成立。例5 已知矩陣，試求（為自然數(shù)）．解 可求得, 觀察這些矩陣的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn), 的第1行元素是展開式的三項(xiàng)元素,而的第1行元素是展開式的前三項(xiàng)，由此推測(cè)，的第1行元素應(yīng)該是的展開式的前三項(xiàng)元素。例6 設(shè)，求。例7 設(shè)為整數(shù)，求。 利用遞推公式方法求方陣的冪設(shè)階方陣的特征矩陣的伴隨矩陣為，它的逆矩陣就為 ，因?yàn)榈拿總€(gè)元素的代數(shù)余子式都是次數(shù)不超過n1次的多項(xiàng)式，所以設(shè) 該式中為待定的n階常數(shù)矩陣。所以可得到 ，最后整理得：得到。解 設(shè)，則 ， 則 ， 所以 ……=， ， 同理 ， 即 。 利用二項(xiàng)式法求方陣的高次冪定理2：若階矩陣可分解為,且矩陣與的高次冪容易計(jì)算，并且 （即與可交換，否則二項(xiàng)展開公式不成立），則有．例9 矩陣，將矩陣分解為 ，其中，則可以驗(yàn)證矩陣滿足，且，,即與可交換。若是主對(duì)角線元素不同的某些特殊階矩陣時(shí)（如三角陣等），則先考慮將分解為，其中為冪零陣（即對(duì)有），或者為秩的矩陣，且，其中常數(shù)等于列向量與行向量內(nèi)積的值。 秩為1的方陣的高次冪的求解定義2：由于矩陣的秩為1,所以矩陣至少有一行元素不為零,且其余各行元素都屬于它的，于是秩為1的矩陣的一般形式為: 設(shè)則有 ==，即例10 設(shè)解 由于例11 已知，求（為自然數(shù)）．解 矩陣可分塊為,其中 于是，下面求與， 由于，其中， 于是 又有,其中，且， 由二項(xiàng)式展開公式得：故故得到以下結(jié)論：結(jié)論一： 命題1 形如，令，所以，則。 利用HamiltoorCaylry定理求方陣的冪定理3：HamiltoorCay
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