【正文】 ,相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 ,所以面積的 比為 4∶ 9. 7.(2022梅州 ,12,3分 )已知 :△ ABC中 ,點(diǎn) E是 AB邊的中點(diǎn) ,點(diǎn) F在 AC邊上 ,若以 A,E,F為頂點(diǎn)的三角 形與△ ABC相似 ,則需要增加的一個(gè)條件是 .(寫出一個(gè)即可 ) 答案 F是 AC的中點(diǎn) (或 EF∥ BC或 ∠ AEF=∠ B或 ∠ AEF=∠ C或 ∠ AFE=∠ B或 ∠ AFE=∠ C) 解析 答案不唯一 ,根據(jù)三角形相似的判定方法相應(yīng)添加條件即可 . 8.(2022廣東 ,25,9分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,O為原點(diǎn) ,四邊形 ABCO是矩形 ,點(diǎn) A、 C的坐標(biāo) 分別是 A(0,2)和 C(2? ,0),點(diǎn) D是對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn) (不與 A、 C重合 ),連接 BD,作 DE⊥ DB,交 x 軸于點(diǎn) E,以線段 DE、 DB為鄰邊作矩形 BDEF. (1)填空 :點(diǎn) B的坐標(biāo)為 。若不存在 ,請(qǐng)說明 理由 。 ②設(shè) AD=x,矩形 BDEF的面積為 y,求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 (可利用①的結(jié)論 ),并求出 y的最小值 . ? 333解析 (1)(2? ,2). (2)存在 .AD=2或 AD=2? . ∵ AO=2,CO=2? ,∴∠ OCA=30176。,∴∠ BDC=60176。,∴∠ DCB=60176。, ∴∠ CDB=105176。. 又 ∵∠ DAB=30176。,∴ AD=AB=2? . (3)①證明 :過點(diǎn) D作 MN⊥ OC,分別交 AB,OC于點(diǎn) M,N, 3333? ∵∠ BDE=90176。, ∵∠ NDE+∠ DEN=90176。, ∴ △ END∽ △ DMB, ∴ ? =? =? =tan 30176。DB=? DB2=? (x26x+12)=? (x3)2+? , ∵ 0x4,∴ 當(dāng) x=3時(shí) ,y取最小值 ,y的最小值為 ? . 33 33 3333深度解析 此類題是廣東中考的常見壓軸題 :和動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的代數(shù)與幾何綜合題 .本題考查了相 似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、二次函數(shù)的最值問題、存在性 問題等 .解析動(dòng)態(tài)幾何問題中的存在性問題 ,主要方法是“以靜制動(dòng)” ,即需要根據(jù)問題畫出相 應(yīng)的圖形 ,此處多數(shù)會(huì)用到分類討論的數(shù)學(xué)思想 .只要把圖形畫出來 ,“動(dòng)”的問題就成了 “靜”的問題 ,就達(dá)到了我們“以靜制動(dòng)”的目的 . 9.(2022廣州 ,23,12分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=x+3與 x軸交于點(diǎn) C,與直線 AD交于 點(diǎn) A? ,點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (0,1). (1)求直線 AD的解析式 ?；?∠ BEC=90176。. ? 45,33??????,1.kbb? ???????1 ,21,kb? ?????12圖 1 將 y=0代入 y=x+3得 x+3=0,∴ x=3,∴ C(3,0). 將 x=3代入 y=? x+1,得 y=? 3+1=? ,∴ E? . ②如圖 2,過點(diǎn) C作 CE⊥ BD于點(diǎn) E,過點(diǎn) E作 EH⊥ x軸于 H, ? 圖 2 此時(shí)△ BOD∽ △ BEC,∠ BOD=∠ BEC=90176。, 12 12 5253,2??????1212∴∠ EBC=∠ HEC,即 ∠ DBO=∠ HEC, ∴ tan∠ DBO=tan∠ HEC, ∵ tan∠ DBO=? ,tan∠ HEC=? ,∴ ? =? , ∵ 點(diǎn) E在直線 y=? x+1上 , ∴ 設(shè) E? ,則點(diǎn) H(x,0), ∵ 點(diǎn) C(3,0),∴ CH=3x,EH=? x+1, ∵ ? =? ,∴ ? =? ,解得 x=2, 經(jīng)檢驗(yàn) x=2是原方程的解 , ? x+1=? 2+1=2,∴ E(2,2). 綜上所述 ,當(dāng)△ BOD與△ BCE相似時(shí) ,點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ? 或 (2,2). ODOBCHODOBEH121,12xx???????12ODOB12311xx??1212 53,2思路分析 (1)用待定系數(shù)法求直線 AD的解析式 。的情形 ,忽略了 ∠ BCE=90176。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? 3答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因?yàn)?CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=AD直線 n分別交 直線 a,b,c于點(diǎn) D,E, ? =? ,則 ? =? ( ) ? A.? B.? C.? ABBC12DEEF13 12 23答案 B ∵ a∥ b∥ c,∴ ? =? ,又 ∵ ? =? ,∴ ? =? ,故選 B. ABBCDEEF12 124.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ A=78176。選項(xiàng) D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是 2∶ 3,且兩邊的夾 角相等 ,所以兩個(gè)三角形也是相似的 ,故選 C. 5.(2022吉林 ,12,3分 )如圖是測(cè)量河寬的示意圖 ,AE與 BC相交于點(diǎn) D,∠ B=∠ C=90176。 (2)若 AD=12,AM=MC,求 ? 的值 . ? ADAPAMAOBPMD解析 (1)證明 :連接 OD、 OP, ? ∵ ? =? ,∠ A=∠ A, ∴ △ ADM∽ △ APO, ∴∠ ADM=∠ APO, ∴ MD∥ PO,∴∠ 1=∠ 4,∠ 2=∠ 3, ∵ OD=OM,∴∠ 3=∠ 4, ∴∠ 1=∠ 2,又 OP=OP,OD=OC, ∴ △ ODP≌ △ OCP,∴∠ ODP=∠ OCP, ADAPAMAO∵ BC⊥ AC,∴∠ OCP=90176。,∴ OD⊥ AP, 又 OD為半徑 ,∴ PD是☉ O的切線 . (2)由 (1)知 PC=PD,連接 CD, ∵ AM=MC,∴ AM=2MO=2R(R為☉ O的半徑 ). 在 Rt△ AOD中 ,OD2+AD2=OA2, ∴ R2+122=9R2,∴ R=3? . ∴ OD=3? ,MC=6? , ∵ ? =? =? ,∴ AP=18,∴ DP=6. 又 ∵ MD∥ PO,O是 MC的中點(diǎn) , ∴ ? =? =? , ∴ 點(diǎn) P是 BC的中點(diǎn) , ∴ BP=CP=DP=6, 又 ∵ MC是☉ O的直徑 , 222AO23COCPCB12∴∠ BDC=∠ CDM=90176。第 (2) 問需要先求出半徑 ,進(jìn)而借助相似三角形的性質(zhì)和判定解決 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要尋找合適的相似三角形 ,并綜合運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)解決問題 . 10.(2022上海 ,21,10分 )如圖 ,一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是△ ABC,水平橫梁 BC長(zhǎng) 18 米 ,中柱 AD高 6 米 ,其中 D是 BC的中點(diǎn) ,且 AD⊥ BC. (1)求 sin B的值 。. ∵ D為 BC的中點(diǎn) ,BC=18 米 , ∴ BD=9 米 ,又 AD=6 米 , ∴ AB=? =? =3? (米 ), ∴ sin B=? =? =? . (2)∵ BE=2AE,AB=3? 米 , ∴ BE=2? 米 , ∵ EF⊥ BD,AD⊥ BC, ∴ EF∥ AD,∴ △ BFE∽ △ BDA, ∴ ? =? =? =? . ∴ BF=6 米 ,EF=4 米 ,∴ DF=3 米 . 在 Rt△ DEF中 ,DE=? =? =5(米 ). 22BD AD?81 36?1363 1 32 1 313BF23 DF EF?2234?11.(2022陜西 ,17,5分 )如圖 ,已知△ ABC,∠ BAC=90176。 (2)求證 :△ AGD∽ △ EGF。,? (12分 ) ∴∠ AGE=? ∠ AGB=45176。(2)需要運(yùn)用兩次相似 ,由 ∠ AGB=∠ DGC和 ? =? ,可證△ AGB∽ △ DGC,得出比例式 ? =? ,同時(shí)可證 ∠ AGD=∠ EGF,從而可證△ AGD ∽ △ EGF。,得出 ∠ AGE=? ∠ AGB=45176。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果 . 2.(2022重慶 ,8,4分 )△ ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,則△ ABC與△ DEF的周長(zhǎng)比為 ? ( ) ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 16 答案 C 因?yàn)椤?ABC與△ DEF的相似比為 1∶ 4,所以由相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 ,得 △ ABC與△ DEF的周長(zhǎng)比為 1∶ 4,故選 C. 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,D、 E分別為 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,BE與 CD相交于點(diǎn) F,則下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADABAEACDFFCECADDBDEBCDFBFEFFC答案 A ∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC, ∴ ? =? =? ,故選項(xiàng) A正確 ,故選 A. 4.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,有一塊矩形紙片 ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊 ,使得 AD 邊落在 AB邊上 ,折痕為 AE,再將△ AED沿 DE向右翻折 ,AE與 BC的交點(diǎn)為 F,則△ CEF的面積為 ? ( ) ? A.? B.? 12 98答案 C 在題中的第三個(gè)圖中 ,AD=6,AB=4,DE=6,因?yàn)?BF∥ DE,所以△ ABF∽ △ ADE,所以 ? =? ,即 ? =? ,解得 BF=4,所以 CF=2,所以 S△ CEF=? CE根據(jù)“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 ,面積比等于相似比的平方”可知選項(xiàng) C正確 , 選項(xiàng) D錯(cuò)誤 .故選 C. ADDB12 AB13AEACDEBCADAB136.(2022河北 ,13,3分 )在研究相似問題時(shí) ,甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下 : ? ? 對(duì)于兩人的觀點(diǎn) ,下列說法正確的是 ? ( ) ,乙不對(duì) ,乙對(duì) 答案 A 由題意知新三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ,所以兩個(gè)三角形相似 ,甲的觀點(diǎn)正確 。,要使△ ABC∽ △ EPD,則 ? =? =2,所以 EP=2AB=6,點(diǎn) P 所在的格點(diǎn)為 P3,故選 C. DEAC8.(2022遼寧沈陽(yáng) ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在邊 AB上 ,BD=2AD,DE∥ BC交 AC于點(diǎn) E,若線段 DE=5,則線段 BC的長(zhǎng)為 ? ( ) ? 答案 C 由題意可得△ ADE∽ △ ABC,相似比為 ? ,所以 BC=3DE=15,故選 C. 139.(2022江蘇南京 ,3,2分 )若△ ABC∽ △ A39。C39。B39。的面積的比為 ? ( ) ∶ 2 ∶ 1 ∶ 4 ∶ 1 答案 C 相似三角形的面積比等于相似比的平方 ,故選 C. 10.(2022安徽 ,14,5分 )矩形 ABCD中 ,AB=6,BC= P在矩形 ABCD的內(nèi)部 ,點(diǎn) E在邊 BC上 ,滿足 △ PBE∽ △ △ APD是等腰三角形 ,則 PE的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 65解析 在矩形 ABCD中 ,AD=BC=8,在△ ABD中 ,由勾股定理可得 BD=? =10,∵ ABAD, ∴ 根據(jù)△ PBE∽ △ DBC可知 P點(diǎn)在線段 BD上 ,當(dāng) AD=PD=8時(shí) ,由相似可得 ? =? =? ?PE=? 。② AP=PD,再由相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解即可 . 難點(diǎn)突破 判斷 P點(diǎn)在線段 BD上是解答本題的突破口 . 11.(2022貴州貴陽(yáng) ,15,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BC=6,BC邊上的高為 4,在△ ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩 形 EFGH,使 EF在 BC邊上 ,另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 AB,AC邊上 ,則對(duì)角線 EG長(zhǎng)的最小值為 . ? 答案 ? 1 2 1 313解析 如圖 ,作 AM⊥ BC于點(diǎn) M,交 HG于點(diǎn) N,設(shè) HE= ,AM=4,BC=6. ? ∵ 四邊形 EFGH是矩形 ,∴ HG∥ EF, ∴ △ AHG∽ △ ABC, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ HG=? , ∴ EG2=HG2+HE2=? +x2 =? =? ? +? (0x4), ∴ 當(dāng) x=? 時(shí) ,EG2有最小值 ,最小值為 ? ,即 EG有最小值 ,最小值為 ? . ANAMBC4 4 x?612 32 x?21 2 32 x???????213 7 1444xx??134 23613x ?14413361 1 313方法指導(dǎo) 解決本題的方法是設(shè) HE=x,利用相似三角形的性質(zhì)用 x表示 HG的長(zhǎng) ,利用勾股定 理 ,用 x表示出 EG2,求 EG2的最小值即可得 EG的