【正文】 xeS yy ddd ?? ? c. 圓柱坐和直角坐標的關系 22= x ,a r c tan( / )yyxzz?????或者 c ossinxyzz???????z,?? 0 0 0,z?? P點位置 zeee ??? , ?? 圓柱面坐標系 d. 柱坐標的關系 zzze e ee e ee e e????????????， 有導數關系 c os si nsi n c osxyxye e ee e e????????? ? ?c os sinsin c osxye e ee e e????????????有或 o ? x y 單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間 坐標單位矢量的關系 ? xe?ye??e??e?sin c osc os sinxyxyee e eee e e???????????? ? ? ???? ? ? ? ??得到zeer z??? ?? ?? d r d d dze e e z??? ? ?? ? ? ???? deed ?????dzedededzeedderdzeerzzz?????????????????????????????????????????????dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleS??????????????? zddV dd ???? ? 總結 z,??坐標變量 zeee ??? , ??坐標單位矢量 zeer z??? ?? ??位置矢量 zeeel z dddd ???? ??? ??? ??線元矢量 zV dddd ????體積元 ????????????????dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleS???????????????面元矢量 球面坐標系 ?? , 0 0 0,r ??P點坐標 ?? eee r??? , c. 球坐標和直角坐標的關系 2 2 22 2 2r = xa r c c os ( / x )a r c t a n( / )yzz y zyx????? ? ??cossinxyzz???????或者 sin c ossin sinc osxryrzr????????d. 球坐標的關系 rrre e ee e ee e e???????????? ??????????????c oss i ns i ns i nc osc osc osc oss i ns i nc oss i nyxzyxzyxreeeeeeeeeee????????????????????xy?e??或者 si n c os c os c os si nsi n si n c os si n c osc os si nxryrre e e ee e e ee e e??????? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ???得到 , sin, c os0 , sin c osrrrreeeeeeeeeeee??????????????????????????? ? ?????? ? ? ???rer r?? ?f. 位置矢量 d r d d s i n dre r e r e r??? ? ?? ? ?g. 線元矢量 ()d d si n drrrrdr d e re dr rd ee r e r e r??? ? ????? ? ?????? dds i nddd 2relleS rrr ??? ??????? dds inddd rrelleS zr ??? ??h. 面元矢量 ????? ddddd rrelleS r ??? ????? dd r drV s ind 2? ???? dedeed rrr ?????????rSd??Sd??Sd?????? dds i nddd 2relleS rrr ??? ??????? dds inddd rrelleS zr ??? ??????? ddddd rrelleS r ??? ??總結：球面坐標系 球面坐標系 球坐標系中的線元、面元和體積元 ?? ,r坐標變量 ?? eee r??? ,坐標單位矢量 rer r?? ?位置矢量 ??? ?? ds inddd rererel r ???? ???線元矢量 ??? ddds ind 2 rrV ?體積元 面元矢量 坐標單位矢量之間的關系 xe? ye? ze??e??e?ze??cos ?sin 0?cos?sin? 00 0 1直角坐標 與 圓柱坐標系 ?e? ?e? ze?re??e??e??sin 0 ?cos?sin??cos 00 01圓柱坐標 與 球坐標系 ze?re??e??e??? co ssin ?cos?sin??? sinc o s?0直角坐標 與 球坐標系 xe? ye??? sinsin?? sinco s?cos?sin?o ? ? z 單位圓 柱坐標系與求坐標系之間 坐標單位矢量的關系 ? ? o ? x y 單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間 坐標單位矢量的關系 ? xe?ye??e??e?ze??e?re??e?作 業(yè) P31： ， 標量場的梯度 ? 如果物理量是標量，稱該場為標量場。 ? 如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 ? 如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。 標量場和矢量場 從數學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數： 、),( zyxu ),( zyxF?、),( tzyxu ),( tzyxF?靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為： 時變標量場和矢量場可分別表示為： 1. 標量場的等值面 標量場的等值線 (面 ) 等值面 : 標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。 等值面的特點： ? 常數 C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； ? 標量場的等值面充滿場所在的整個空間； ? 標量場的等值面互不相交。 0ul? ??? —— u(M)沿 方向增加； 0ul? ??? —— u(M)沿 方向減少； 0ul? ??? —— u(M)沿 方向無變化； l?l?l?特點： 方向導數既與點 M0有關，也與方向 有關。 l????? co sco sco s 、方向導數的計算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxudldzzudldyyudldxxulu????????????????????意義： 描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向 記作： 定義： 標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數，其方向為該點所在 等值面的法線方向 。 zueyuexueuzyx ?????????? ???直角面坐標系 zueueueuz ?????????? ?????? ??1圓柱面坐標系 ??? ?? ?????????? ureurerueur s i n11 ???球面坐標系 梯度在三種坐標系中的表示 ? 標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數值表示變化最大方向上場的空間變化率。 梯度的性質： ? 標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面） 梯度運算的基本公式 ： ?????????????????????????????uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0即： udu udfuf ??? )()( 例 設一標量函數 ? (x,y,z) = x2＋ y2－ z 描述了空間一標量場 。 解 (1)由梯度計算公式，可求得 P點的梯度為 22( ) ( )x y zPPx y zy