【正文】 界條件為 )(20 2222222tCpVtzyx????????????????????? 初始條件為 邊界條件為 ),( ),( 000 zyxppzyxVVtt ??? ??0 snppVV??? ????固 壁 面 條 件自 由 面 條 件無 窮 遠 處 在流體力學中的邊界條件多數(shù)屬于 第二類邊界條件 ，及在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導數(shù)。對飛行器或物體而言，內邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠。 求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉化為 求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解 這一數(shù)學問題 ???? Vx? 0??????zy??0???n??V2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 Folie10 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 速度勢函數(shù)的性質 （ 1）速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等于該方向的速度分量， 速度勢函數(shù)沿著流線方向增加 。 sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVw d zv d yudxsdVdsVsss??????????????????????????????Folie11 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 2）速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。如果速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則它們的 線性組合 也滿足拉普拉斯方程。速度線積分與路徑無關，僅決定于兩點的位置。 sdV 0 0 ???? ????? sdVdd ??( ) ( )B B B BBAA A A AV d s u d x v d y wd z d x d y d z dx y z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?Folie12 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)及其性質 根據(jù)高等數(shù)學中，格林公式可知（平面問題的線積分與面積分的關系） 如果令 由此可見，下列線積分與路徑無關（圍繞封閉曲線的線積分為零） ??? ???????? ????????dx dyyPx dyP dxL Q LuvP v u v d x u d y d x d yxy?????? ? ? ? ? ? ???????? ??， 有 ： 0????Ludyv d x 存在的充分必要條件是 0?????? yvxuFolie13 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 這是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程。由此可見，對于不可壓縮流體的 平面流動（二維問題），無論是理想流體還是粘性流體，無論是有渦流動還是無渦流動，均存在流函數(shù)。流函數(shù)具有下列性質 （ 1）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動 （ 2）流函數(shù)值相等的點的連線是流線。 0d d x d yxyv d x u d y??? ??????? ? ? ?dx dyuv?Folie15 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 3）流函數(shù)在某一方向的偏導數(shù)等于 順時針旋轉 90度 方向的速度分量 根據(jù)流函數(shù)這一性質，如果沿著流線取 s，反時針旋轉 90度取 n方向，則有 （ 4）理想不可壓縮流體平面勢流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程 ),c o s (),c o s ( ymuxmvmyymxxmVmnmVnn???????????????????????? ??0 ???????? sVnV ns ??021)( )( 21 21 2222z ????????? ??????????????? ??????????????????? ?????? yxyyxxyuxv ?????Folie16 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、平面不可壓位流的基本方程 （ 5）過同一點的等速度勢函數(shù)線與等流函數(shù)線正交（等勢線與流線正交） 等流函數(shù)線是流線，有 另一方面，過該點的等勢函數(shù)線方程為 在同一點處，流線與等勢線的斜率乘積為 說明流線與等勢線在同一點正交。這樣在流場中存在兩族曲線，一族為流線，另一族為等勢線，且彼此相互正交。在流網(wǎng)中，每一個網(wǎng)格的邊長之比等于勢函數(shù)和流函數(shù)的增值之比。如流線密的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。即 表示流速與相鄰流線的間距成反比，因此流線的疏密程度反映了速度的大小。設給定一平面物體 C，無窮遠為直均流，在繞流物體不脫體的情況下，求這個繞流問題。 Folie20 位函數(shù) Φ的性質小結 (1) 速度 位函數(shù)由 無旋條件 定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。 (3) 對于理想不可壓縮無旋流動 ， 從連續(xù)方程出發(fā) ，速度 位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理 。 (5) 連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度位函數(shù)之差。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。 其流速為 位函數(shù)為 常用平行于 x 軸的直勻流，從左面遠方流來，流速為 。正源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。如果把源放 在坐標原點 上，那末這流動便只有 ，而沒有 。流函數(shù)的表達式是 或 ??? 2Q? xya r ct gQ?? 2?Folie24 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 位函數(shù)從 的式子積分得到 在極坐標系中，速度分量與流函數(shù)和勢函數(shù)偏導數(shù)關系式為 rvrQ ln2?? ? 22 yxr ??rrVrrVrr?????????????????????V 11V Folie25 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 如果源的位置不在坐標原點，而在 A點（ ξ,η）處 22 )()(ln2 ???? ???? yxQ???? ???xya rc t gQ22222)()()(2)()()(2??????????????????????????yxyQyvyxxQxuFolie26 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 偶極子 等強度的一個源和一個匯，放在 x 軸線上，源放在（ h， 0）處，匯放在（ 0， 0）處。 Folie27 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 應用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下 其中 表示流場點 P 分別與源和匯連線與 x軸之間的夾角。這時位函數(shù)變成： 對偶極子而言，等位線是一些圓心在 x 軸上的圓，且都過原點。前面表示的偶極子是以 x 軸為軸線的，其正向為軸線上的流線方向，前面的偶極子是指向負 x 方向的。流速只有 Vθ，而沒有 Vr 。分速 Vθ 和離中心點的距離 r 成反比 ，指向逆時針方向。 怎么求流函數(shù)？ Folie34 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、幾種簡單的二維位流 如點渦位置不在原點，而在（ ξ， η），則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)為： 沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，只要這個圍線把點渦包圍在內，環(huán)量值都是 Γ ，但不包含點渦在內的圍線，其環(huán)量等于零。渦本來是有旋流動，但像這樣一根單獨的渦線所產(chǎn)生的流場，除真正的渦心那一條線（在平面里就是一點）之外，其余的地方仍是無旋流動。按這個速度分布規(guī)律，速度在半徑方向的變化率是： * 當 r 很小之后，這個變化率極大，這時粘性力必然要 起作用（粘性力與速度的法向變化率成正比）。但核外的流速是與 r 成反比的，如圖所 示。這個核的尺寸究竟 有多大？它是因流體的粘性大小及渦強大小而不同的 。 這里要說明的一個事實是 ， 渦對于外部流場是產(chǎn)生誘導速度的 （ 即擾動 ） ， 其值與至中心的距離成反比 ， 但對它自己的核心是沒有誘導速度的 。 ? ?22ln4ln2),( yxQxVrQxVyx ????? ?? ???2 2 2 2 22Q x Q yu V vx x y y x y???????? ? ? ? ?? ? ? ?，F(xiàn)olie39 、 一些簡單的迭加舉例 令 uA=0, vA=0 即得駐點 xA 坐標為： 02AAQxyV??? ? ?Folie40 2022年版本 北京航空航天大學 《 空氣動力學 》 國家精品課 、 一些簡單的迭加舉例 流動的流函數(shù)是： 對于零流線 是一條通過坐標原點的水平線。 對于非水平流線，半徑 r： 如對于 相應的半徑 r 為： 0 0????，???? 2s in QrV ?? ?2Q??22s inrV ??? ?????? ?? 2Q)1(2s in1 ??? ???QVr3 22??????，1 ( 1 ) s i n 2 4 2EFQ Q QrD