【正文】 ??? ????? ? ???????222 0 1 01 2?? ???? ? ?????? ? ????? ? ??134 阻尼對振動的影響 00? ??? ??很 小 ★ 位移與動荷載同步 。 動荷載 動位移 彈性力 阻尼力 慣性力 2sinsinsinc ossin????????Ftatka tc a tm a t討論三個典型情況 ★ 與彈性力相比 ,阻尼力和慣性 力都很小。 134 阻尼對振動的影響 1 2??? ? ?? ? ? ? ★ 位移滯后動荷載 900。 共振時 ,增大阻尼 ,可以降低位移 動荷載 動位移 彈性力 阻尼力 慣性力 2sinco sco ssinco s??????????Ftatk a tca tm a t134 阻尼對振動的影響 ? ? ? ?? ? ? ?很 大 ★ 位移與動荷載反向 ,滯后 1800。 ★ 動荷載振動很快 。 134 阻尼對振動的影響 例題 解 3st3 2 .4 9 0 .0 5 6 1 0 m 0 .0 5 6 m m134000ay ??? ? ? ? ? ?st 630 00 9. 8 3 m 0. 02 2 m m13 4 10 9. 8 13 40 00Fyk?? ? ? ???? ? ? ?2222262 / 6 0 2 8 0 0 / 6 0 832 0 . 8 3( / ) ( 1 3 4 1 0 9 . 8 / 1 5 6 0 0 0 ) 9 8 4 9nkm??????? ? ? ???2 2 2 22222211 2. 4983 2 83 2[ 1 ] 4 0. 2( 1 ) 498 49 98 49????????? ? ?? ? ? ??? 已知 :機(jī)器的轉(zhuǎn)速為 n=800轉(zhuǎn) /分 ,擾力幅值 F=3T,地基剛度 k=134000T/m,機(jī)器和基礎(chǔ)的重量為 Q=156T,阻尼比為 . 試求：質(zhì)體的振幅。 a 振動方程 135 多自由度體系的自由振動 令 ? ?? ?s ins iny Y ty Y t????????1122兩個質(zhì)體的運(yùn)動具有以下特點(diǎn) : ★ 兩個質(zhì)體具有相同的圓頻率和相位角 . ★ 兩個質(zhì)體的位移比值不變 . c onstyYyY??1122b 振型方程和頻率方程 ? ?? ?k m Y k Yk Y k m Y??? ? ?? ? ?211 1 1 12 2221 1 22 2 200將位移表達(dá)式代入振動方程 振型方程 振型 135 多自由度體系的自由振動 取非零振型解 ,則 展開 ,得 從小到大排列 :ω 1:第一頻率或基本頻率 。 頻率方程或 特征方程 k m kD k k m? ???? ?21 1 1 1 2 22 1 2 2 20,k k k k k k k km m m m m m???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???22 11 22 11 22 11 22 12 21121 2 1 2 1 21122135 多自由度體系的自由振動 將 ω=ω 1代入振型方程 YkY k m??? ?1 1 1 222 1 1 1 1 1第一振型 Y Y Y Y??1 1 21 2 1? ?? ?s ins iny Y ty Y t????????1 1 1 1 12 2 1111 1此時 ,位移為 位移 速度 y Y y Yy Y y Y??1 1 1 111 112 2 1 2 2 1初位移 初速度 yyYYy Y y Y??1 0 1 01 1 1 12 0 2 1 2 0 2 1★ 若體系按第一振型振動 ,需要滿足初始條件 . 135 多自由度體系的自由振動 將 ω=ω 2代入頻率方程 YkY k m??? ?1 2 1 222 2 1 1 2 1第二振型 Y Y Y Y??1 1 22 2 2? ?? ?sinsiny Y ty Y t????????1 1 2 2 22 2 2222 2此時 ,位移為 位移 速度 初位移 初速度 y Y y Yy Y y Y??1 1 2 122 122 2 2 2 2 2yyYYy Y y Y??1 0 1 01 2 1 22 0 2 2 2 0 2 2★ 若體系按第二振型振動 ,需要滿足初始條件 . ★ 體系按某一振型振動是由初始條件決定的 . 135 多自由度體系的自由振動 一般情況下 ,振動是兩種振型的組合 ? ?? ? ? ? ? ?si n si nyt YYA t A tyt? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???12121 111 1 2 2222135 多自由度體系的自由振動 例題 試求圖示體系的頻率和振型 k k k??11 1 2解 (1)求剛度系數(shù) k k k? ? ?2 1 1 2 2kk?22 2EI1=∞ m1 EI1=∞ m2 k1 k2 1 k21 k11 1 k12 k22 135 多自由度體系的自由振動 (2)求頻率 ,m m m k k k? ? ? ?1 2 1 2若 則 ,?????????km2123522.? ?1 0 6 1 8 km即 .? ?2 1 6 1 8 km,k k k k k k k km m m m m m???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???22 11 22 11 22 11 22 12 21121 2 1 2 1 21122討論 135 多自由度體系的自由振動 將 ω=ω 1代入振型方程 ,得 .YkY k m?? ? ??1 1 1 222 1 1 1 1 111 6 1 8第一振型 將 ω=ω 2代入振型方程 ,得 .?? ? ???YkY k m1 2 1 222 2 1 1 2 110 6 1 8第二振型 (3)求振型 1 1 ★ 第一振型的初始條件容易滿足 , 所以位移中第一振型的比例較大 135 多自由度體系的自由振動 例題 試求圖示體系的頻率和振型 1 k21 k11 6i/l 6i/l 12i/l 12i/l 6i/l 6i/l 1 k22 k12 6i/l 6i/l 3i/l 3i/l EI1=∞ m1=m EI1=∞ m2= i i 2i i l l ikl?11 248解 (1)求剛度系數(shù) ikkl? ? ?2 1 1 2 212ikl?22 215135 多自由度體系的自由振動 (2)求頻率 . , .????12 332 7 6 1 7 0 9 8E I E Im l m l解得 ,k k k k k k k km m m m m m???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???22 11 22 11 22 11 22 12 21121 2 1 2 1 21122135 多自由度體系的自由振動 將 ω=ω 1代入振型方程 ,得 .YkY k m?? ? ??1 1 1 222 1 1 1 1 113 3 6 5第一振型 將 ω=ω 2代入振型方程 ,得 .YkY k m?? ? ???1 2 1 222 2 1 1 2 110 1 9 8第二振型 (3)求振型 1 1 1 1 135 多自由度體系的自由振動 1剛度法 —— 多個自由度 a 振動方程 nnnnn n n n nn nm y k y k y k ym y k y k y k ym y k y k y k y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 11 1 12 2 12 2 21 1 22 2 21 1 2 2000寫成矩陣形式 nnn n n n n n nm y k k k ym y k k k ym y k k k y? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 11 12 1 12 2 21 22 2 212000簡寫為 ?? 0M y K y135 多自由度體系的自由振動 b 振型方程和頻率方程 代入振動方程，得到 振型方程 ? ? ? ?? ? ? ? ? ????2 0K M Y? ? ? ? ? ?si ny Y t????令位移解為 頻率方程 為 ? ? ? ????2 0KM135 多自由度體系的自由振動 nnn n n n nk m k kk k m kk k k m???????211 1 12 1221 22 2 22120展開頻率方程 得到 n個頻率，按從小到大排列。 ? ? ? ?() ? 12 Ti i i n iY Y Y Y其中第 i振型向量 135 多自由度體系的自由振動 1例題 已知 m1=2m， m2=m3=m， k1=k， k2=k/3， k3=k/5， 橫梁剛度 EI=∞。 y1y222my11my振動方程 1 質(zhì)體 1 單位力 ?11?21? ?my?? 111 質(zhì)體 2 單位力 ?12?22? ?my?? 22( ) ( )( ) ( )y m y m yy m y m y??? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 1 1 2 2 22 2 1 1 1 2 2 2 2135 多自由度體系的自由振動 令 ? ?? ?s ins iny Y ty Y t????????1122b 振型方程和頻率方程 mmDmm??????????1 1 1 1 2 222 1 1 2 2 2 2101頻率方程或 特征方程 ? ?? ?k m Y k Yk Y k m Y??? ? ?? ? ?211 1 1 12 2221 1 22 2 200將位移表達(dá)式代入振動方程 振型方程 135 多自由度體系的自由振動 展開頻率方程 ,得 ? ? ? ? ? ?,m m m m m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 21242??????121211頻率為 將 ω=ω 1, ω=ω 2分別代入振型方程 ,得 YmY m??????11 12 22111 1 211第一振型 YmY m??????12 12 22211 1 221第二振型 135 多自由度體系的自由振動 例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型 .EI=常數(shù) ,m1=m2=m m1 m2 l/3 l/3 l/3 331 1 2 2 1 2 2 1472 4 3 4 8 6llE I E I? ? ? ?? ? ? ?解 (1)求柔度系數(shù) (2)求頻率 mmDmm??????????1 1 1 1 2 222 1 1 2 2 2 2101