第9－12課時(shí)不等式問(wèn)題的題型與方法-在線瀏覽
2025-05-12 06:48本頁(yè)面
【正文】 題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。參數(shù)量太多，讓考生們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)難以理清頭緒?！跋钡哪Ｊ讲⒉浑y唯一，這里提供一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。而點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，是連接這兩點(diǎn)的弦的斜率。設(shè)為不相等的兩實(shí)數(shù)，則由題設(shè)條件可得：和。由此即得；又對(duì)任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)。即不存在，使得。考慮結(jié)論（Ⅱ）：因?yàn)?，故原不等式為；?dāng)時(shí)，左右兩邊相等；當(dāng)時(shí)，且，則原不等式即為：，令，則原不等式化為，即為。再看結(jié)論（Ⅲ）：原不等式即，即，注意到，則，則原不等式即為即，令，則原不等式即化為，即，因?yàn)?，則，所以成立，即（Ⅲ）的結(jié)論成立。尤其是（Ⅱ）與（Ⅲ），許多尖子學(xué)生證明了（Ⅱ）的結(jié)論而不能解決（Ⅲ）。（Ⅲ）范例分析b)∈M，且對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．分析：讀懂并能揭示問(wèn)題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問(wèn)題的突破口．怎樣理解“對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？解：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。例3． 己知三個(gè)不等式：① ② ③ (1)若同時(shí)滿足①、②的值也滿足③，求m的取值范圍；(2)若滿足的③值至少滿足①和②中的一個(gè)，求m的取值范圍。不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解①得A=（1，3）；解②得B=（1） 因同時(shí)滿足①、②的值也滿足③，ABC 設(shè)，由的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時(shí)，即可滿足（2） 因滿足③的值至少滿足①和②中的一個(gè)，因此小根大于或等于1，大根小于或等于4，因而說(shuō)明：同時(shí)滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對(duì)應(yīng)的方程2x+mx1=0的兩根分別在(∞，0)和[3，+∞)內(nèi)，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對(duì)A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系．，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a≥5．分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式．設(shè)f(x)=ax+bx+c(a≠0)．① 頂點(diǎn)式．f(x)=a(xx)+f(x)(a≠0)．這里(x，f(x))是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，x=))、(x，f(x))、(x，f(x))是二次函數(shù)圖象上的不同三點(diǎn)，則系數(shù)a，b，c可由證明：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f(x)=a(xx)(xx)，a∈N．依題意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．于是有f(0)＞0，f(1)＞0．又f(x)=axa(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，所以f(0)=axx、f(1)=af(1)≥1． ①另一方面，且由x≠x知等號(hào)不同時(shí)成立，所以由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5．說(shuō)明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問(wèn)題，往往比較靈活．根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達(dá)形式，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．{a}的首項(xiàng)a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問(wèn)：它的前多少項(xiàng)的和最大？分析:要求前n項(xiàng)和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列．解:設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，由Sm=Sn得ak≥0，且ak+1＜0．(k∈N)．說(shuō)明：諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題可歸結(jié)為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問(wèn)題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵．例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且1≤f(1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(2)的范圍．分析：要求f(2)的取值范圍，只需找到含人f(2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫(xiě)出來(lái)．即可求得f(2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(2)的不等式(組)，即可求解．解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得(Ⅰ)所以f(2)的取值范圍是[6，10]．解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因?yàn)閒(2)=4a2b，所以4a2bf(2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a2bf(2)=0過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(2)的最小值6，最大值10．即f(2)的取值范圍是：6≤f(2)≤10．解法三(利用方程的思想)又f(2)=4a2b=3f(1)+f(1)，而1≤f(1)≤2，3≤f(1)≤4， ①所以 3≤3f(1
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