【正文】 題號(hào) 結(jié)束 86 有一邊長(zhǎng)為 l 的立方體，每一角上 放一點(diǎn)電荷 q。試求 x 軸上任一點(diǎn)的電 場(chǎng)強(qiáng)度。試求直角頂點(diǎn) C 處的場(chǎng)強(qiáng) E 。 求 :Ec 。 q q q q 題號(hào) 結(jié)束 已知 :一正方形 ,邊長(zhǎng)為 a 求 : E0 解 : (1)四個(gè)點(diǎn)電荷在 O產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小相等方 向相反 = E0 0 (2)若正負(fù)相間放置 = E0 0 (3)若如圖所示放置 = + EAC EA EC π ε 4 0 = ( ) 1 2 2 a q 2 = π ε 0 a 2 q q q q q A D C B EAC EO EBD 題號(hào) 結(jié)束 同理 = = + EBD EB ED π ε 0 a 2 q 2 + EAC EBD 2 = EO = π ε 0 a 2 q 2 題號(hào) 結(jié)束 810 三個(gè)點(diǎn)電荷 q1 、 q2和 q3放在正方形 的三個(gè)頂點(diǎn)上，已知 q1=10 109C ， q2= 28 106C， 在正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)上場(chǎng)強(qiáng) E 的方向沿水平方向 向右，如圖所示。 （ 2）第四個(gè)頂點(diǎn) 上場(chǎng)強(qiáng)的大小。計(jì)算 (3m,0)處和 (3m, 4m) 處的場(chǎng)強(qiáng)。 (2) EB π x ε 4 + = q1 EA 2 O + = E2 E1 π x ε 4 q2 2 O + ( ) π x ε 4 q1 2 O = 1 q2 9 = ( ) 9 109 25+25 109 = 50V/m E2 E1 E y x 3 4 5 解 ： (1) 題號(hào) 結(jié)束 3 5 2 = π b ε 4 q1 2 O = ( ) 9 109 3 2 25 109 25 5 = 2 q E cos Ex = = π b ε 4 q1 2 O (2) E2 E1 E y x 3 4 5 題號(hào) 結(jié)束 812 兩個(gè)點(diǎn)電荷 q1和 q2相距為 d 若 （ 1）兩電荷同號(hào)； （ 2）兩電荷異號(hào)。 因?yàn)?d x 0， 左邊為正，右邊取正號(hào) = + d x q1 q1 q2 解 ： (1)對(duì)于同號(hào)電荷， P點(diǎn)位置必須在 0~d之 間，設(shè) q1 位于原點(diǎn)。 (2)對(duì)于兩異號(hào)電荷， P點(diǎn)位置必須在 0~d之外。問 a 粒子在何處受到的力最大？假定 a 粒子穿過氫分子中心時(shí)兩核無多大移動(dòng)， 同時(shí)忽略分子中電子的電場(chǎng)。 當(dāng) 時(shí)， F 為最大 題號(hào) 結(jié)束 解二： 2 q r d sin = 2 q r d sin = 2 . F e 1 π r 2 ε 4 0 = e 2 2 π ε 4 0 = e 2 q d sin 2 2 2 π ε 0= e q d sin 2 2 2 cos F = F 1 q 2 2 π ε 0= e q d sin 2 2 2 cos q 2 4 π ε 0= e q d sin 2 2 cos q d +e +e +2e F F1 F1 ′ 2 d 2 q q r r 題號(hào) 結(jié)束 F 2 4 π ε 0= e q d sin 2 2 cos q = q sin 2 2 3 得到： 2 = + x 4 2 2 d 1 2 2 d q sin ( ) 2 = 2 3 = d 2 x 2 170。證明 在電四極子軸線的延長(zhǎng)線上離中心為 r (r ＞＞ re ) 的 P 點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 式中 Q =2q re2稱為這種電荷分布的電四極矩。求： （ 1）在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線一端 B 相 距 d = 5cm處 P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； （ 2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn) 相距 d =5cm處 Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。試求距棒 的一端垂直距離為 d 的 P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 求圓心處場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。 = q = l d 109 102 = 1011 C π q R 2 ε 4 0 = EO 180。圓心處的場(chǎng)強(qiáng)等于缺口段 負(fù)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。 ∵ 題號(hào) 結(jié)束 819 用直接積分法求一半徑為 R、電荷 面密度為 s 的均勻帶電球面球內(nèi)外任一點(diǎn)的 電場(chǎng)強(qiáng)度。 球外： r R x R r q d q . P x y o 題號(hào) 結(jié)束 1 2 3 π x 2 ε 4 0 E d = + d q ( ) y 2 x = d q π ζ 2 q sin R d q 2 x = cos q R r = y q sin r + ( ) ( ) E d = π ζ 2 q sin R d q 2 cos q R r ( ) cos q R r 2 q sin r 2 2 3 1 π ε 4 0 + = ζ q sin R d q 2 cos q R r ( ) cos q R r 2 2 3 ε 2 0 2 2 R r + = ζ q sin R d q 2 cos q R r ( ) cos q R r 2 2 3 ε 2 0 2 2 R r E ? 0 π 題號(hào) 結(jié)束 q = 0 cos q = 1 R r 2 ( ) = x1 q = π cos q = 1 + R r 2 ( ) = x2 2 q sin R r d q x d = cos q R = 2 r 1 + r R 2 x 2 ( ) ( ) d d ( ) q q sin 2 R r cos q R r x = + r 2 r 1 + r R 2 x 2 = + d ( ) 4 R r x 1 x 2 r 2 R 2 d x = + cos q R r 2 2 2 R r x 令： 題號(hào) 結(jié)束 = ζ R 2 2 ε 4 0 1 R r x2 1 x1 ( ) r 2 R 2 x2 x1 + r R r R ( ) ( ) r 2 R 2 + r R r R ( ) 1 1 = ζ R 2 2 ε 4 0 R r 1 ( ) d q q sin cos q R r = + d ( ) 4 R r x x 2 r 2 R 2 d x cos q R = 2 r 1 + r R 2 x 2 ( ) + = ζ q sin R d q 2 cos q R r ( ) cos q R r 2 2 3 ε 2 0 2 2 R r E ? 0 π 將上兩式代 入右式 = ζ R 2 2 ε 4 0 1 E 4 R r x 2 3 + d x ( ) x ? x2 x1 r 2 R 2 ? x2 x1 2 3 d x x 得： E + r R r R ( ) ( ) r 2 R 2 + r R r R ( ) 1 1 = ζ R 2 2 ε 4 0 R r 在球內(nèi)將 r R 代入，得 E = 0 在球外將 r R 代入，得 E = π q r 2 ε 4 0 題號(hào) 結(jié)束 820 設(shè)點(diǎn)電荷分布的位置是：在 (0 ,0) 處為 5 108C 在 ( 3m,0 ) 處為 4 108C 以在 (0 ,4m ) 處為 6 108C 計(jì)算通過以 ( 0 ,0 )為球心，半徑等于 5m的球面上的總 E 通量。 q2 = 4 108C q3 = 6 108C。設(shè) q 在垂直于平 面并通過圓心 o 的軸線上 A點(diǎn)處， A點(diǎn)與圓 心 o點(diǎn)的距離為 d 試計(jì)算通過此平面的 E 通 量。 z x y d o d d d 題號(hào) 結(jié)束 = b d 2 = 2 d b d 2 d 1 = ( ) 2 b d 2 d = Φ q ε 0 = Φ q ε 0 = 1012 C 已知： Ex=bx 1/2, b = 800N/()， Ey=Ez=0,d =10cm, 求 ： (1) Φ, (2) q Φ . E S = 解： z x y d o d d d 題號(hào) 結(jié)束 823 如果習(xí)題 822圖中電場(chǎng)強(qiáng)度的分量 為 Ex = by , Ey = bx , Ez = 0 , b = 800 N/()， 再計(jì)算通過立方體表面的總 E 通量和立方體內(nèi)的總電荷量。 解：由于 Ex 和 x 無關(guān)，所以通過左右兩面 同理由于 Ey和 y 無關(guān)，所以通過上下兩 所以通過立方體表面 E 的總通量為零。 E 的通量等量異號(hào)，總通量為零。 題號(hào) 結(jié)束 824 如圖 d =, d′= ,的長(zhǎng)方 閉合面處在一不均勻電場(chǎng) E = ( 3+2x2 )i 中 E 和 x 的單位為 V／ m和 m，計(jì)算通過此閉 合面的凈 E 通量及包圍在閉合面內(nèi)的凈電荷 量。試計(jì)算地 球帶的總電荷量，地球的半徑為 106 m； （ 2）在離地面 1400m處，場(chǎng)強(qiáng)降為 20 V／ m，方向仍指向地球中心。 題號(hào) 結(jié)束 已知： E = 200V/m, R = 106 m, h =1400m, E′=20V/m 求： Q , ρ 解 ： (1)設(shè)地球所帶的電量為 Q，沿地球表面 作一 Gauss面 E . d S = s ? ? q ε 0 1 200 ( 106)2 = 9 109 = 105 C π R ε 4 0 E 2 Q = 題號(hào) 結(jié)束 (2)在離地面 1400m處作一閉合面，設(shè)大氣 層里總電量為 q, 由 Gauss定理： Q + E . d S = s ? ? q ε 0 180。 = + E π 4 R h 2 ( ) Q q ε 0 + π R ε 4 0 E 2 180。 π R ε 4 0 E 2 Q = 由題 (1)得： 題號(hào) 結(jié)束 π 3 4 V = + R h 3 ( ) π 3 4 R 3 R h ∵ 大氣層體積為： ∴ 大氣層平均電荷密度為： ρ = ε 0 E h E 180。 題號(hào) 結(jié)束 已知： ρ( r )= c e 2r/ao, ao = 1010m 求： (1)q, (2)E 解：電荷 eq按規(guī)律 ρ (r )分布 ,負(fù)電荷總值為： ∞ = ? 0 π r 2 4 c e 2r/ao d r 4 a 0 3 = π 4 c ρ r e = ? ∞ 0 d r ( ) π r 2 4 q e a 0 3 = π c q 4 = ? 0 r 2 e 2r/ao d r e e a 0 3 ao q q = ρ r e ? ∞ 0 d r ( ) π r 2 4 q q (1)半徑為 a0 的球內(nèi)凈電荷為 : 題號(hào) 結(jié)束 + = e q e q 2 ? e 2 + e q 3 ? e 2 e q = e q 5 ? e 2 = e q = 1019 = 1019C 4 = ? 0 r 2 e 2r/ao d r e e a 0 3 ao q q q (2)離核距離為 a0處的場(chǎng)強(qiáng)為： π q a 2 ε 4 0 E = 0 = 109 1019 1011 ( ) 2 = 1011 V/m 題號(hào) 結(jié)束 827 在半徑分別為 10cm和 20cm的兩層 假想同心球面中間，均勻分布著電荷體密度 為 ρ = 109 C/m3的正電荷。 R1 R2 O ρ 題號(hào) 結(jié)束 2 180。求空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫出 E 對(duì) r 的 關(guān)系曲線。 . kr ? R 0 d r E . d S = s ? ? 1 ε 0 π r 2 4 180。求 : （ 1）這薄層中央的電場(chǎng)強(qiáng)度； （ 2）薄層內(nèi)與其表面相距 場(chǎng)強(qiáng)度； （ 3）薄層外的電場(chǎng)強(qiáng)度。試求： O、 O′、 P、 P′(分別以 O,O’為 圓心到 P,P’為 R成的圓 )各點(diǎn)的場(chǎng) 強(qiáng)。 R P′ . .