【正文】 (2222yxyx?22 yx ?? 22 )0()0( ???? yx 2???? ?取 ????? 01s i n)( 2222yxyx有 證畢 . 多元函數(shù)的基本概念 )0( 22 ?? yx2222 1s i nyxyx ?????? ?? ?31 32 相同點 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的 一元函數(shù) 在某點的極限存在的充要 定義相同 . 差異為 必需是點 P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨 而 多元函數(shù) 于 P0時 , 多元函數(shù)的基本概念 相同點 和 差異 是什么 條件是左右極限都存在且相等 。1 第六章 多元函數(shù)微分學 DxyzOM?xyP),( yxfz ?2 偏導數(shù)與全微分 復合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 多元函數(shù)的連續(xù)性 隱函數(shù)存在定理 第六章 多元函數(shù)微分學 多元函數(shù) 多元函數(shù)的極限 方向導數(shù)與梯度 多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式 極值問題 3 第一節(jié)、多元函數(shù) 1. 平面點集 n 維空間 一元函數(shù) 1R平面點集 2R n 維空間 nR實數(shù)組 (x, y)的全體 , 即 },),({2 RyxyxRRR ????建立了坐標系的平面稱為坐標面 . 坐標面 坐標平面上具有某種性質 P的點的集合 , 稱為 平面點集 , 記作 }.),(),({ PyxyxE 具有性質?(1) 平面點集 二元有序 多元函數(shù)的基本概念 4 鄰域 (Neighborhood) 設 P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個點 , 幾何表示： O x y . P0 })()(),({),( 20200 ?? ????? yyxxyxPU,0 鄰域的點 ?P多元函數(shù)的基本概念 令 ,0??).( 0PU有時簡記為 2R稱之為 ① 將鄰域去掉中心 , ② 也可將以 P0為中心的 某個矩形內(nèi) (不算周界 ) 注 稱之為 的全體點稱之為點 P0鄰域 . 去心鄰域 . ),( 0 ?PU?5 (1) 內(nèi)點 顯然 , E的內(nèi)點屬于 E. ,EP ?點,)( EPU ?使多元函數(shù)的基本概念 E (2) 外點 如果存在點 P的某個鄰域 ),(PU則稱 P為 E的 外點 . (3) 邊界點 如點 P的 任一 鄰域內(nèi)既有屬于 E的點 , 也有不屬于 E的點 , 稱 P為 E的 邊界點 . 任意一點 2RP ? 2RE ?與任意一點集 之間 必有以下三種關系中的一種 : 設 E為一平面點集 , ,0??若存在 稱 P為 E的 內(nèi)點 . 1P?)( 1P)( 2P 2P?3P ?)( 3PE的邊界點的全體稱為 E的 邊界 , 記作 .E?使 U(P) ∩ E = ?, 6 聚點 多元函數(shù)的基本概念 如果對于任意給定的 ,0?? 點 P的去心鄰域 ),( ?PU 內(nèi)總有 E中的點 則稱 P是 E的 聚點 . 例如 , 設點集 (P本身可屬于 E,也可不 屬于 E ), },21),({ 22 ???? yxyxE,),( 200 RyxP ?點 ,21 2020 ??? yx若 則 P為 E的內(nèi)點 。 12020 ?? yx若 ,22020 ?? yx或 則 P為 E的邊界點 , 也是 E的聚點 . E的邊界 E? 為集合 }.2),({}1),({ 2222 ???? yxyxyxyx ?7 說明： 1. 內(nèi)點一定是聚點； ； 例 }10|),{( 22 ??? yxyx(0,0)既是 邊界點也是聚點． 3. 點集 E的聚點可以屬于 E，也可以不屬于 E． 例如 , }10|),{( 22 ??? yxyx (0,0) 是聚點但不屬于集合． 例如 , }1|),{( 22 ?? yxyx邊界上的點都是聚點也都屬于集合． 8 平面區(qū)域 (重要 ) 設 D是 開集 . 連通的開集稱 區(qū)域 多元函數(shù)的基本概念 連通的 . 如對 D內(nèi)任何兩點 , 都可用折線連 且該折線上的點都屬于 D, 稱開集 D是 ?或 開區(qū)域 . 如 都是區(qū)域 . },41),({ 22 ??? yxyx}0),({ ?? yxyx 開集 若 E的任意一點 都是內(nèi)點 , 例 }41),({ 221 ???? yxyxE ?稱 E為 開集 . E1為 開集 . 0?? yx0?? yxO xy結起來 , ???xyo9 開區(qū)域連同其邊界 ,稱為 有界區(qū)域 否則稱為 多元函數(shù)的基本概念 都是閉區(qū)域 . },41),({ 22 ??? yxyx如 總可以被包圍在一個以原點為中心、 適當大的圓內(nèi)的區(qū)域 , 稱此區(qū)域為 半徑 (可伸展到無限遠處的區(qū)域 ). 閉區(qū)域 . 有界區(qū)域 . 無界區(qū)域 xyo10 O x y O x y O x y O x y 有界開區(qū)域 有界半開半閉區(qū)域 有界閉區(qū)域 無界閉區(qū)域 多元函數(shù)的基本概念 11 n 元有序數(shù)組 ),( 21 nxxx ?),( 21 nxxx ?的全體 。 都有極限 , 且相等 . )(Pf33 確定極限 關于二元函數(shù)的極限概念可相應地推廣到 n元函數(shù)上去 . 多元函數(shù)的基本概念 不存在 的方法 則可斷言極限不存在 。 多元函數(shù)的基本概念 42 ),(),( yxgyxf ?Ayxfyxyx??),(li m),(),( 00,),(lim),(),(Byxgyxyx?? 00BA?),(),( limlim),(),(),(),(yxgyxfyxyxyxyx 0000 ???定理 1：二元函數(shù)極限的四則運算法則 定理 2：若 且 則 即 ),(),(),( yxgyxhyxf ??Ayxgyxyx??),(lim),(),( 00,),(lim),(),(Ayxfyxyx?? 00),( yxhAyxhyxyx??),(lim),(),( 00且 則 也有極限且 定理 3：若 43 二元函數(shù)的幾種 復合函數(shù) 的形式：