【正文】 摩納哥的蒙特卡羅。 ? 1777年法國科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問題：平面上畫有等距離 的一些平行線，取一根長度為 的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。設(shè) M為針落下后的中點(diǎn)， 表示中點(diǎn) M到最近一條平行線的距離， 表示針于平行線的交角，如圖 。 為使針與平行線（與 最后的一條平行線）相交，其充要條件是 的面積為 ，這樣針與平行線相交的概率為 設(shè)一共投擲 次（ 是一個(gè)事先選好的相當(dāng)大的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為 。取 為 的近似值，我們可以算出 的近似值。下表時(shí)這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料 (此處把 折算為 1）： /la 實(shí)驗(yàn)者 年份 針長 投擲次數(shù) 相交次數(shù) 的實(shí)驗(yàn)值 pulf 1850 5000 2532 Smith 1855 3204 De Mgen C 1860 600 Fox 1884 1030 489 Lazzerini 1901 3408 1808 Reina 1925 2520 859 p?pamn? 由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個(gè)概率模型，使它的某個(gè)參數(shù)等于問題的解。再通過幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，最終算出解的近似值。也可以用在算不出解析結(jié)果的定性模型中。隨機(jī)變量的抽樣方法很多，不同的分布采用的方法不盡相同。 三、隨機(jī)數(shù)的生成 ? 我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散隨機(jī)變量的改里函數(shù)來描述 如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個(gè)值或一個(gè)集合，可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來得到，然而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌?，這里我們用數(shù)學(xué)程序來產(chǎn)生擬隨機(jī)變量。不過這些擬隨機(jī)數(shù)并沒有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s之后，它們非常接近于在 區(qū)間的均勻分布。在程序設(shè)計(jì)和軟件包中通常用 來表示由這樣，我們用它來表示從 上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變量。例如，可以從 給出區(qū)間 上的連續(xù)均勻分布的隨機(jī)變量。 如果我們要生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布，可以用下列公式 和 來給出 的兩個(gè)值，令 或 可以生成 型的正態(tài)分布。例如設(shè)計(jì)一個(gè)離散的隨機(jī)變量有下列的概率函數(shù)。 ? 對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每類的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分類。一個(gè)更細(xì)致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即 給出 。如果把它作為一個(gè)隨機(jī)變量， 是 上的均勻分布。這就是我們所要的由這個(gè)分布所生成的 的值 pdf()fx ( ) ( )xF x f t d t??? ?F [0,1]RND()RN D F x? 1( ( ))x F RN D??0 . 5 s in 0()0xxfx ??????? 否 則00( ) 0 . 5 s in 0 . 5 c o s 0 . 5 ( 1 c o s )x xF x td t t x? ? ? ? ??0. 5 (1 c os )RN D X?? a r c c os( 1 2 )X R ND??X[0,1]? (2) 排除法 對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè) 值來生成一個(gè) 值。 我們可以通過如下的步驟生成 的值。 對(duì)于上面的例子，我們?nèi)? RNDX[ , ]ab 0 c[0,1] 1RND 2RND1()x a b a RND? ? ?2y cRND?()y f x?).a0 , , 0. b c?? ? ?()fx()fx1RND()fx2RNDx x)a)b)c)d)eX四、模擬 ? 模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全是數(shù)學(xué)模擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。因此我們所說的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。如果你要趕的是這趟火車的下一站 ,而你到達(dá) 的站的時(shí)間分布為 問你能趕上這列火車的概率是多少？ A離站時(shí)間 概率 時(shí)間 概率 B 302AB? 為了回答這個(gè)問題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。而我們所要模擬的是 火車離站的時(shí)間 ； 火車途中的時(shí)間 ； 你到達(dá)車站 的時(shí)間 。為模擬這個(gè)問題只需要生成 ， 和 的值，然后檢驗(yàn)這條件。這樣，假設(shè)一個(gè)模型，取平均值為30，標(biāo)準(zhǔn)差為 2的正態(tài)分布，由所給的條件知 ， 為離散的，而 為連續(xù)的隨機(jī)變量。 計(jì)算結(jié)果為 ， 和 ，這樣 。但需要指出，這并不是說我們已經(jīng)回答了這個(gè)問題，要回答這個(gè)問題我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕上火車的頻率。 1110 , 0 , 5 10RND tRND tRND t? ? ? ??? ? ? ??? ? ??33330 0 .3 , 2 80 .3 0 .7 , 3 00 .7 0 .9 , 3 20 .9 1 .0 , 3 4RN D tRN D tRN D tRN D t? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??1212[ 2 l n( ) ] c os( 2 )X RND RND???0t ?1 5t ? 2 29t ? 3 30t ? 12 34tt??? 一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說明什么問題，更不能說我們的主要工作已經(jīng)完成。分析的種類要看模型的對(duì)象，而這在模擬的一開始就應(yīng)該清楚的。下面我們僅舉兩個(gè)簡單的例子以理順模擬模型的思路。 對(duì)任意一個(gè)模擬，首先要作的是 找出能完全描述任意時(shí)刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量的集合。 這個(gè)例子中有三個(gè)狀態(tài)變量：在等待的顧客的人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否 正在工作（是或否）；是否 正在工作（是或否）。一個(gè)事件是時(shí)間中的一點(diǎn)，在這個(gè)時(shí)刻一個(gè)隨機(jī)變量改變了它的值。 一個(gè)元素是一個(gè)離散，或者是系統(tǒng)的長期部分，或者是進(jìn)入和離開，這里的元素是顧客和兩個(gè)理發(fā)員。在每一個(gè)時(shí)間切片中狀態(tài)變量可變可不變。 這兩種途徑我們有時(shí)稱為“時(shí)間傳動(dòng)”和“事件傳動(dòng)”模型。在這個(gè)例子中我們將用“事件傳動(dòng)”。問題的描述并不包括任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。實(shí)際上有兩種不同類型的顧客，取決于是否要吹風(fēng)。 10 .6 5 0 .4 8 6 .2? ? ? ?? 為了描述一個(gè)顧客是否到來這個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)硬幣將作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)的生成器，用 表示反面， 表示正面。用 表示一個(gè)顧客到達(dá)，且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前 分鐘，就有下表的結(jié)果： H時(shí)間（分） 到達(dá)？ A在工作 B在工作 排隊(duì) 0 否