【正文】 方差 ? ? ? ?? ? ? ? mnPEnD ???? ??20??泊松分布隨機(jī)變量 的 數(shù)學(xué)期望和方差 此時(shí)，隨機(jī)變量 ?可取全部正整數(shù) ，為 離散型隨機(jī)變量 ，其 概率函數(shù) 為： ?? mkekmkP ???!?泊松分布隨機(jī)變量的特點(diǎn) (A)?的取值為 全部正整數(shù) 。 (D)相互獨(dú)立 的 服從泊松分布 的 隨機(jī)變量之 和 ，仍遵守泊松分布。 所以對于原子核衰變，其 數(shù)學(xué)期望 為： 方差： tNeNE t ?? 00 )1( ??? ?tNeeND tt ??? 00 )1( ??? ??(3) 高斯分布 高斯分布 又稱 正態(tài)分布 ， 當(dāng)泊松分布中的 m1(例如 20)時(shí) ， 泊松分布 就可 簡化為 高斯分布 。 其 概率密度函數(shù) 為： ? ? ? ? ?????? ??? 222e xp21???mxxf高斯分布隨機(jī)變量 的 數(shù)學(xué)期望和方差 數(shù)學(xué)期望 方差 ? ? ? ? mdxxfxxE ??? ?????? ? ? ?? ? ? ? 22 ???? ?????dxxfxExxD 對于 核衰變 ， 可以證明 單位時(shí)間 發(fā)生 衰變的核數(shù) 服從 泊松分布 ?？梢宰C明： ? ? ? ? mdnnpmn ??? ? 22?m??此式表明，僅有統(tǒng)計(jì)漲落時(shí)， m??一般情況下， m?? 高斯分布 連續(xù)對稱 ，可以方便的計(jì)算測量值出現(xiàn)在 區(qū)間內(nèi)的 概率 ，即 ： ?Zm ?令： ? ??? ZmXZmP ????? ? dxeZmXZmP ZmZmmx????????????????? 222)(21?mxz ??dxdz ?1?? ? ?? ??????????Z zZZzdzedzeZmXZmP0222221221????可由高斯函數(shù)數(shù)值積分表查得。試求：1） 在相同時(shí)間內(nèi) 108個(gè)粒子的概率； 2） 出現(xiàn)絕對偏差值大于 6的概率。 解： 所求概率 NNN? 2NN? 3NN?()( ) ( ) ( ) 2 ( )W N k N N N k NW k a k k k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3( 1 ) 3 ( 2) 3 ( 3 ) 7 %2 %3 %kNNN????? ? ? ????這 里 ， ， 通 過 查 表 ， 有， ＝ ， ＝相 應(yīng) 的 概 率 分 別 為 ， ，表 示 落 在 的 概 率 為 ，落 在 的 概 率 為 ，落 在 的 概 率 為 。 但實(shí)際上，我們在實(shí)驗(yàn)中不可能對某一計(jì)數(shù)作無限次測量， 只能進(jìn)行有限次甚至一次測量 。 4 放射性測量的統(tǒng)計(jì)誤差 統(tǒng)計(jì)誤差的產(chǎn)生 2 、計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞 在一般的核測量中，常涉及 函數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差 的計(jì)算，也就是 誤差傳遞 (Error Propagation)。 δ 是 delta σ 是 sigma 11205 112 0 224 /5112 0 224 / /55224 /NnnNt s N n stNnsst t ts???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???， ， 或計(jì) 數(shù) 率 及 統(tǒng) 計(jì) 誤 差 為 例 1在 5秒內(nèi)測得計(jì)數(shù) 1120，求計(jì)數(shù)率的統(tǒng)計(jì)誤差。 平均值 的 相對統(tǒng)計(jì)誤差 為： ?NN ?????iiNN NNKN11??(2) 多次重復(fù) 測量 計(jì)數(shù)率 的 統(tǒng)計(jì)誤差 若上述的計(jì)數(shù)的 K次 重復(fù)測量中，每次測量的時(shí)間 t相等 ，且 測量時(shí)間 沒有誤差，則 K次測量的計(jì)數(shù)率 為： ni=Ni / t(i= 1, 2, … K) 計(jì)數(shù)率平均值的統(tǒng)計(jì)誤差為： KtntNn // ?? ??其中 。 ??? Ki inKn11 ? nn ?計(jì)數(shù)率平均值 的 相對統(tǒng)計(jì)誤差 為： ????iinn NKtnn /1/1??3. 在有 本底 時(shí)， 樣品凈計(jì)數(shù)率 的 統(tǒng)計(jì)誤差 實(shí)驗(yàn)測量工作必須分為兩步進(jìn)行： 一步：測量包括 本底在內(nèi)的有放射性樣品或放射源時(shí) 的 計(jì)數(shù) ； 一步：測量 無放射性樣品或放射源時(shí) 的 本底計(jì)數(shù) 。 例 1已知本底計(jì)數(shù)為 nb=15計(jì)數(shù) /min，測量樣品計(jì)數(shù)率為 ns=60計(jì)數(shù) /min，試求凈計(jì)數(shù)率的統(tǒng)計(jì)誤差和凈計(jì)數(shù) 率 的結(jié)果表達(dá)式。求樣品凈計(jì)數(shù)率及誤差。 解： 測量條件的選擇 在計(jì)數(shù)測量中為了保證一定的精密度， 為了減小統(tǒng)計(jì)誤差 ，如何選擇 測量時(shí)間 和如何 判斷最佳工作條件 十分重要。 例 2，測量時(shí)間為 1min，要求 δ n?1％， 若探測器效率為 ε ＝ 100％， 則所測放射源的最小活度。 bsbbss nntNtNn ????0bbssn tntn??0? 為在 規(guī)定的 總測量時(shí)間 T＝ ts+tb內(nèi)使測量結(jié)果的 誤差最小 。由極值條件： 0???sbsss tTntndtd得到： bsbsnntt ?Tnnnntbsbss /1/?? Tnntbsb /11??該條件下的 相對方差 為： 222)1/(110 ???????? ??? bsbbbssbsn nnTntntnnn? 據(jù)此，在 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 給定 的情況下，所需 最小測量時(shí)間 為： 22m i n )(10 bsnnnT???如果要求測量有一定的精度 。若凈計(jì)數(shù)率的誤差為 5%， tb和 ts的最小值是多少？ 探測器的優(yōu)質(zhì)因子 例如在低水平測量時(shí)， ni/nb?1,而凈計(jì)數(shù)率 n0又正比于探測效率 ε ，代入上式就可得出結(jié)論，好的探測器應(yīng)能給出最小的 nb/ ε 2,其倒數(shù) ε 2/ nb稱為 探測器的優(yōu)質(zhì)因子 。選擇 高 ε 低 nb的探測器在低水平放射性測量中特別重要。 這樣就 可以由 已知的 簡單隨機(jī)變量 的 分布函數(shù) 與 數(shù)字表征 來 求 復(fù)雜隨機(jī)變量 的 分布函數(shù) 和 數(shù)字表征 。 而 Y＝ ?(x)， 求隨機(jī)變量 Y 的可取值 y 和概率密度函數(shù) g(y)。它取決于 和函數(shù)關(guān)系 ? ?yg? ?xf ? ?XY ?? 僅對一些最簡單的函數(shù)才能得到其解析表達(dá)式 。 由此，可得到若干簡單的關(guān)系： (A) ? ? ? ?XCECXE ?? ? ? ?XDCCXD 2?(B) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的 “ 和 ” 、 “ 差 ” 與“ 積 ” 的 數(shù)學(xué)期望 ，是各隨機(jī)變量 數(shù)學(xué)期望 的“ 和 ” 、 “ 差 ” 與 “ 積 ” ，即： ? ? ? ? ? ?2121 XEXEXXE ???? ? ? ? ? ?1 2 1 2E X X E X E X? ? ?(C) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的 “ 和 ” 與 “ 差 ” 的方差 ， 是各隨機(jī)變量 方差 的 “ 和 ” ， 即： ? ? ? ? ? ?2121 XDXDXXD ???(D) 相互獨(dú)立 的 遵守泊松分布的隨機(jī)變量 之 “ 和 ”仍服從泊松分布。 (2). 串級隨機(jī)變量 輻射測量中經(jīng)常會遇到 級聯(lián) 、 倍增 過程的 漲落問題 ，這些問題可以用 串級型隨機(jī)變量 的概念及運(yùn)算規(guī)則來處理。按以下規(guī)則定義一個(gè) 新的隨機(jī)變量 ?： (A) 先 按條件組 A作 一次 試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了 隨機(jī)變量 ?1的 一個(gè) 可取值 ?1i； (B) 再 按條件組 B作 ?1i次 試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了 隨機(jī)變量 ?2的 ?1i個(gè) 可取值 ； i12,22,21 ???? ?(C) 將 這些可取值加起來 得到 一個(gè) 值 ?i，并將此值定義為一個(gè) 新的隨機(jī)變量 ?的 一個(gè) 可取值 ； ???????iijji111222221 ...?? ????? 這里， 隨機(jī)變量 ?為 隨機(jī)變量 ?1與 ?2的“ 串級 ” 隨機(jī)變量。 串級隨機(jī)變量的主要特點(diǎn)： (A) 期望值： ? ? ? ? ? ?21 ??? EEE ??(B) 方差： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21122 ????? DEDED ??(C) 相對方差： ? ?? ?? ? ? ?21222211??? ??????EED??? 假如 第一級 隨機(jī)變量的 數(shù)學(xué)期望 很大 ， 那么就可以 忽略 第二級 隨機(jī)變量的 相對方差 對串級隨機(jī)變量 的 相對方差 的 貢獻(xiàn) 。 即 ? 仍是只有兩個(gè)可取值 (0,1)的伯努利型隨機(jī)變量 。 設(shè) ?1的 平均值 為 m1,而 ?2的正結(jié)果發(fā)生概率為 p2，則 ? 的 平均值 為：