【正文】 為： 方差： )1(0 teNE ????tt eeND ?? ???? )1(0也就是說(shuō)原子核在 t時(shí)間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為： 不發(fā)生衰變的概率為： teNtNp ?????? 1)(0tepq ????? 1(2) 泊松分布 泊松分布 是在 N0很大 、 概率 p很小 的條件下 ， 二項(xiàng)式分布在數(shù)學(xué)上的 直接簡(jiǎn)化 ， 是二項(xiàng)式分布的一種極限情況 。 對(duì)二項(xiàng)式分布 ， 當(dāng) N0 很大 ， 但 p1， 即 m ＝ N0p 為 不大的常數(shù) 時(shí) ， 服從二項(xiàng)式分布的隨機(jī)變量就可服從 泊松分布 。 在二項(xiàng)式分布中 ， 當(dāng) N0很大 ， 且 λt 1時(shí) ， 則有： p=1－ eλt 1這樣 ， =N0pN0。 這意味著 N與 和 N0相比足夠小 ， 可得到 ? ? ? ?? ? ? ? NkkNNNNkNN ??????? 1...21!!000000? ? eep kNkNkN p 000)1( ??? ????NN代入： 000!! ( ) !NkkN pqk N k?????kNkkN qpCkP ??? 00?? ? ? ? mnPnE ??? ??0?數(shù)學(xué)期望 方差 ? ? ? ?? ? ? ? mnPEnD ???? ??20??泊松分布隨機(jī)變量 的 數(shù)學(xué)期望和方差 此時(shí)，隨機(jī)變量 ?可取全部正整數(shù) ，為 離散型隨機(jī)變量 ，其 概率函數(shù) 為： ?? mkekmkP ???!?泊松分布隨機(jī)變量的特點(diǎn) (A)?的取值為 全部正整數(shù) 。 ? ? ? ? mDE ?? ??(B) (C)當(dāng) m較小時(shí) 其概率函數(shù) 非對(duì)稱 ，當(dāng) m較大時(shí) 其概率函數(shù) 趨于對(duì)稱 。 (D)相互獨(dú)立 的 服從泊松分布 的 隨機(jī)變量之 和 ，仍遵守泊松分布。 例子： 如果放射性原子核的個(gè)數(shù) N0非常大 ，同時(shí)測(cè)量時(shí)間 t比半衰期小的多 ， 即在 t內(nèi)可不考慮放射原子核總數(shù) N0 的改變 ， 則在 t內(nèi)放射源衰變數(shù)就可用 泊松分布 作為其概率函數(shù) 。 所以對(duì)于原子核衰變，其 數(shù)學(xué)期望 為： 方差： tNeNE t ?? 00 )1( ??? ?tNeeND tt ??? 00 )1( ??? ??(3) 高斯分布 高斯分布 又稱 正態(tài)分布 ， 當(dāng)泊松分布中的 m1(例如 20)時(shí) ， 泊松分布 就可 簡(jiǎn)化為 高斯分布 。 對(duì)高斯分布 ， 隨機(jī)變量 X取值范圍為 (－?～＋ ?)， 為 連續(xù)型隨機(jī)變量 。 其 概率密度函數(shù) 為： ? ? ? ? ?????? ??? 222e xp21???mxxf高斯分布隨機(jī)變量 的 數(shù)學(xué)期望和方差 數(shù)學(xué)期望 方差 ? ? ? ? mdxxfxxE ??? ?????? ? ? ?? ? ? ? 22 ???? ?????dxxfxExxD 對(duì)于 核衰變 ， 可以證明 單位時(shí)間 發(fā)生 衰變的核數(shù) 服從 泊松分布 。 其特點(diǎn)為： 2??m 這一關(guān)系在高斯分布也是成立的?？梢宰C明： ? ? ? ? mdnnpmn ??? ? 22?m??此式表明，僅有統(tǒng)計(jì)漲落時(shí)， m??一般情況下， m?? 高斯分布 連續(xù)對(duì)稱 ，可以方便的計(jì)算測(cè)量值出現(xiàn)在 區(qū)間內(nèi)的 概率 ，即 ： ?Zm ?令： ? ??? ZmXZmP ????? ? dxeZmXZmP ZmZmmx????????????????? 222)(21?mxz ??dxdz ?1?? ? ?? ??????????Z zZZzdzedzeZmXZmP0222221221????可由高斯函數(shù)數(shù)值積分表查得。 )( Z?],[ ?? ZmZm ?? 表示 置信區(qū)間 為 ?Z)(2 Z?該置信區(qū)間的 置信度 為： 例如： 當(dāng) Z＝ 1時(shí)， 置信區(qū)間 為 ?該置信區(qū)間的 置信度 為 %)1(2 ??當(dāng) Z＝ 2時(shí)， 置信區(qū)間 為 ?2該置信區(qū)間的 置信度 為 %)2(2 ??例 1時(shí)間 t內(nèi)放射源 平均 放出 100個(gè)粒子。試求：1） 在相同時(shí)間內(nèi) 108個(gè)粒子的概率； 2） 出現(xiàn)絕對(duì)偏差值大于 6的概率。 解： 1） 2） 2） 22( 1 0 8 1 0 0 )21 0 0 1 01( 1 0 8 ) 0 .0 32NNW N e ??????? ? ?? ? ? ?，? ?? ?? ?106 10010 71 94 106 1 ( )1 2 1 2 7 aW N W a?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?做 變 量 置 換 ：查 表例 2設(shè)放射性衰變核數(shù)平均值為 ，求其觀測(cè)值落在 、 、 ，范圍內(nèi)的概率。 解： 所求概率 NNN? 2NN? 3NN?()( ) ( ) ( ) 2 ( )W N k N N N k NW k a k k k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3( 1 ) 3 ( 2) 3 ( 3 ) 7 %2 %3 %kNNN????? ? ? ????這 里 ， ， 通 過(guò) 查 表 ， 有， ＝ ， ＝相 應(yīng) 的 概 率 分 別 為 ， ，表 示 落 在 的 概 率 為 ，落 在 的 概 率 為 ，落 在 的 概 率 為 。從理論上講，在 放射性測(cè)量 中得到的 計(jì)數(shù)值的數(shù)學(xué)期望值 應(yīng)是 無(wú)限多次重復(fù)測(cè)量計(jì)數(shù)值的平均值 ，稱為 真平均值 。 但實(shí)際上，我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中不可能對(duì)某一計(jì)數(shù)作無(wú)限次測(cè)量， 只能進(jìn)行有限次甚至一次測(cè)量 。 這種誤差是由于 放射性核衰變和射線與物質(zhì)相互作用的統(tǒng)計(jì)性 所引起的，稱為 統(tǒng)計(jì)誤差 。 4 放射性測(cè)量的統(tǒng)計(jì)誤差 統(tǒng)計(jì)誤差的產(chǎn)生 2 、計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差的傳遞 在一般的核測(cè)量中，常涉及 函數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差 的計(jì)算，也就是 誤差傳遞 (Error Propagation)。 若 是 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量，其標(biāo)準(zhǔn)偏差相應(yīng)為 ，由這些隨機(jī)變量 導(dǎo)出的任何量 的 標(biāo)準(zhǔn)偏差 可以用下面公式求出： nxxx , 21 ?nxxx ??? , 21 ?),( 21 nxxxfy ??22222221221 nxnxxy xyxyxy???? ?????????????????????????????????? ?1. 單次測(cè)量的計(jì)數(shù)和計(jì)數(shù)率 的 統(tǒng)計(jì)誤差 若對(duì)某放射性樣品或放射源測(cè)量一次得到的 計(jì)數(shù)為 N， 測(cè)量時(shí)間為 t,且 t沒(méi)有誤差 ，則計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差和相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差為： NNNNNN/1/ ??????δ 是 delta σ 是 sigma 計(jì)數(shù)率 n=N/t的統(tǒng)計(jì)誤差和相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差為 NntntntNtnnNn/1/1///2??????????上式表明 計(jì)數(shù)率的相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差 只與 計(jì)數(shù) N的大小有關(guān)，要 提高測(cè)量精度 ， 必須計(jì)數(shù) N足夠多 。 δ 是 delta σ 是 sigma 11205 112 0 224 /5112 0 224 / /55224 /NnnNt s N n stNnsst t ts???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???， ， 或計(jì) 數(shù) 率 及 統(tǒng) 計(jì) 誤 差 為 例 1在 5秒內(nèi)測(cè)得計(jì)數(shù) 1120，求計(jì)數(shù)率的統(tǒng)計(jì)誤差。 解： 2. 多次重復(fù) 測(cè)量 計(jì)數(shù)和計(jì)數(shù)率 的 統(tǒng)計(jì)誤差 (1) 多次重復(fù)測(cè)量計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)誤差 若對(duì)某放射性樣品重復(fù)測(cè)量 K次 ，每次 測(cè)量時(shí)間相同 ，測(cè)得的計(jì)數(shù)為 N N2， … Nk,則觀測(cè)值的 統(tǒng)計(jì)誤差 為 ，其中 為 K次測(cè)量值的平均值，平均值的統(tǒng)計(jì)誤差 為： N?? NKNKN ????測(cè)量結(jié)果 寫成 。 平均值 的 相對(duì)統(tǒng)計(jì)誤差 為： ?NN ?????iiNN NNKN11??(2) 多次重復(fù) 測(cè)量 計(jì)數(shù)率 的 統(tǒng)計(jì)誤差 若上述的計(jì)數(shù)的 K次 重復(fù)測(cè)量中，每次測(cè)量的時(shí)間 t相等 ，且 測(cè)量時(shí)間 沒(méi)有誤差，則 K次測(cè)量的計(jì)數(shù)率 為： ni=Ni / t(i= 1, 2, … K) 計(jì)數(shù)率平均值的統(tǒng)計(jì)誤差為： KtntNn // ?? ??其中