【正文】 恒有 g?(x)0 (或恒有 g?(x)0) ， 則 Y=g(x)的概率密度為 定理 其中 x=h(y)為 y=g(x)的反函數(shù)， ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??????????? g,gm a x,g,gm i n ??2. 特殊方法（公式法） 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例 3: 設(shè)隨機(jī)變量 X?N(μ,σ2),試證明 X的線性函數(shù)Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布。 (i=1， 2， …) P{Y=yj}=pj 二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件 Y X y1 y2 … y j … x1 p11 p12 … p 1j … x2 p21 p22 … p 2j … … … … … … … xi pi1 pi2 … p ij … … … … … … … X的分布律 12ippp???Y的分布律 12 jp p p? ? ?X與 Y相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)于任意 i， j 有 : pij= pip 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 2/10 0 4/10 3/10 故關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律分別為： X 1 0 Y 1 0 P 3/10 7/10 P 1/2 1/2 3/10 7/10 1/2 1/2 X Y 1 0 1 0 1/10 2 /104 /10 3/10是否相互獨(dú)立？ 求出相關(guān)系數(shù)？ ??? ?????其它,00,0,),(~),( )32( yxAeyxfYX yx例 求： (1)常數(shù) A；（２） P(1X1,1Y1) 解 (1)由歸一性 6?? A? ? ? ???? ? ? ?－ － ( 2 x + 3 y )00f ( x , y ) d x d y = A e d x d y = 1(2) (1,1)F0AA d x? ? ? ?? ? ? ?0 ( 2 x + 3 y ) 2 x 3 y00A e d x d y = e e d y =61111( 2 ) ( 1 1 , 1 1 ) ( , )P X Y f x y d x d y??? ? ? ? ? ? ? ??11 ( 2 3 )00 6xye d x d y??? ?? 23(1 ) (1 )ee??? ? ?1 1( , )f x y d x d y????? ?? 11 ( 2 3 )00 6xye d x d y??? ??1 1 D 4．隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 求 2N(0,a )??P {X + Y a}, ( a 0)若 Xi服從 n維正態(tài)分布 N(181。 會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 。 會(huì)利用隸莫弗 — 拉普拉斯定理和獨(dú)立同分布的中心極限定理近似計(jì)算。 ????1)(kkk pxXE ?????? dxxxfXE )()(1） (0,1)分布的數(shù)學(xué)期望： E(X)=p； D(X)=p(1p) 2) 若 X?B(n,p),則 E(X)=np； D(X)=npq 3) 若 X?P(λ)，則 E(X)=λ； D(X)=? ,.....2,1,0!}{ ????kkekXPk ??.,. .. .,2,1,0}{ nkqpCkXP knkkn ??? ?方差 衡量隨機(jī)變量取值 波動(dòng)程度（穩(wěn)定性） 。,σ2)，則 E(X)=μ； 3).若 X服從指數(shù)分布 ，則 E(X)=1/?。 Y)=E(X) 177。nnnXXXXEXEXEXXXE,)()()()(212121??? ????方差的性質(zhì) 假定以下所遇到的隨機(jī)變量的方差存在 : (1) 設(shè) C是常數(shù)，則 D(C)=0； (2) 設(shè) X是隨機(jī)變量， a是常數(shù)，則 D(aX)=a2D(X), 進(jìn)一步有： D(aX+b)=a2D(X)； (3) 設(shè) X， Y是兩個(gè) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量，則有D(X?Y)=D(X)+D(Y)； 推廣 : 相互獨(dú)立。 Cov(X， Y) )()()( YEXEXYE ???(3) Cov(X1+X2， Y)= Cov(X1， Y)+ Cov(X2， Y) Cov(X， X) 22( ) ( ( ) ) ( )E X E X D X? ? ?例 設(shè)隨機(jī)變量 X~B(100， )， 求 1） E(X)D(X) ； 2） E(Y)＋ D(Y) 3） 求 E(Z) 121 0() 200xeyfyy????? ?? ??0 .5XY? ?E(X)D(X) ＝ 100 ＝ 10－ 9＝ 1 E(Y)＋ D(Y) ＝ 1／ ＋ 1／ ＝ 2＋ 4＝ 6 2244Z X XY Y? ? ?2( 2 )Z X Y??22( ) 4 ( ) 4 ( ) ( )E Z E X E XY E Y? ? ?224 [ ( ( ) ( ( ) ) ] 4 ( ) [ ( ( ) ( ( ) ) ]D X E X E X Y D Y E Y? ? ? ? ?( , ) ( ) ( ) ( )C O V X Y E XY E X E Y? ? ?)()( YDXDXY ??? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )XYE X Y D X D Y E X E Y?? ? ? ? ?例 (X,Y)服從區(qū)域 D:0x1,0yx上的均勻分布 ,求 X與 Y的相關(guān)系數(shù) D 1 x=y ??? ??ot h e r sDyxyxf0),(2),(解 322)(010?? ??xdyxdxXE312)(010?? ??xy dydxYE412)(010?? ??xy dyxdxXYE22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??181912)(0210??? ??xdyydxYD1( , ) ( ) ( ) ( )36C O V X Y E X Y E X E Y? ? ???)()(),(YDXDYXCO VXY?12?( ) ( ) ( )( ) ( )E X Y E X E YD X D Y?12004129 1 8xx d x d y? ? ???第四章、大數(shù)定理和中心極限定理 考試要求 掌握利用切比雪夫不等式的概率計(jì)算。 例 設(shè)隨機(jī)變量 X?B(100,),用切比雪夫不等式估計(jì) ? ?16 16PX? ? ?解 : X?B(100,),所以 由切比 雪夫不等式 { | 10 | 6 }PX? ? ?22{ | | } 1 .PX????? ? ? ?μ＝ E(X)＝ 100 ＝ 10 σ2＝ D(X)＝ 100 ＝ 9 ? ?16 16PX? ? ?2916??34?例 2 已知某隨機(jī)變量 X的平均值為 1，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，求 a,使得 X超過(guò) 1+a或低于 1a的概率小于 10%。}|1{| 2aaXP ???令 2 ?a ?? a ?? a22 .{| | }PX????? ? ?例 100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于 300的概率是多少？ 解 :設(shè) Xk為第 k 次擲出的點(diǎn)數(shù) , k=1,2,…,100, 則 X1,…,X 100 是獨(dú)立同分布 . 2211( ) ( ( ) )E X E X??由中心極限定理 1001{ 3 0 0 }iiPX???)(1 ???? 9 9 8 ?1()EX? ??6211 4 9 3 56 4 1 2i k?? ? ??61iip???6