【正文】 關(guān)鍵詞： 矩估計(jì)法 極大似然估計(jì)法 置信區(qū)間 置信度 35 ? ?? ?222222 ,1 。參數(shù)估計(jì)問(wèn)題就是要求問(wèn)題的提出：通過(guò)樣本估計(jì)總體分布所包含的未知參數(shù)的值。 1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? ?? ?? ?1212, , ,1 , 2 , ,? , , ,niii n iX X XikX X Xi?? ? ???? 點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題就是根據(jù)樣本 ，對(duì)每一個(gè)未知參數(shù) ，構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ，作為參數(shù) 的估計(jì)，稱為 。 , , , , , , , , , 1 , 2 , , , , , , ,1 1 , 2 , , , , ,1 1 2 1, , ,2 1 2kkkvv k nnvviiX F xX k E XE X v k X X X Xv A X v kkAknA???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ???? 設(shè)總體 的分布函數(shù)為 是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩 存在，則有： 對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令? ?? ? ? ?12122 ,?, , , , , ,12kkAk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ??解此方程即得 的一個(gè)矩估計(jì)量? ?一 矩估計(jì)法：38 ? ?121 0 , , , , ,nXX X X X? ? ? ? ????2 2 22例：設(shè)總體 的均值 和方差 都存在，且 ， 均未知，是取自 的一個(gè)樣本，試求 的矩估計(jì)。 ? ? ? ?E X x f x d x????? ?解：1??? ?10 x d??? ?1 X?????? ?E X X?令 ? ? 2? 1 X X??? ?40 極大似然估計(jì)法 極大似然估計(jì)的原理介紹 考察以下例子： 假設(shè)在一個(gè)罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是 1:3，但不知道哪種顏色的球多。 , 1 , 44x n xnP x p p q q p px ???? ? ? ????? 其中 由假設(shè)知， 或 0 1 2 3 ? ?34,Pxx164 964 27 64 27 6416427 64 27 64 964? ?14,Px二． 41 ? ? ? ?? ? ? ?? ?143427 31 1 10 , 0 , 0 , ,4 64 4 64 4 1 9 3 27 31 2 , 2 0 , 2 ,4 64 4 64 41? 2 33,x P P pxx P Pxpxxxp? ? ? ? ??? ? ? ???? ?????從上表看到： 取 更合理；類似；, 取 更合理； 類似； ： 于是有42 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??, 。 39。x p x P x p x P x p P p x?極大似然原 對(duì)每個(gè) 取 , 使 是不同于理：的另一值；? ?? ? ? ?? ? ? ?1122211 , , , , , , , , , ,nnininl nL x x x l n f x l nLL x x x LL x x x????????????說(shuō)明 在求 的最大值時(shí)，通常轉(zhuǎn)稱為對(duì)數(shù)似然函換為求：數(shù)通常的最大 ，記為，值? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2, , , , , , , , , ,knnX f xx x x X X X? ? ? ? ? ??? ? ?? 設(shè)總體 的概率密度為 為未知參數(shù)，為參數(shù)空間，即 的取值范圍。 221? niinlnX???????????的極大似然估計(jì)值為：? ? ? ? 2111 1 1, nn n ni i ii i iL f x x x??? ? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ?解：似然函數(shù)? ? ? ?112 n iinln L ln ln X? ? ??? ? ? ?? ?111 0 22niid ln L n ln Xd??? ? ?? ? ? ??令1niin ln X? ??? ?即： 44 ? ?? ?? ?11 4 , 0 , , , 0 , , , xnexX f xX X X?? ?? ? ? ?????? ???????例 ：設(shè)總體 的概率密度為： 其中 是未知常量其它為 的樣本，求 的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。? ?12, , , ,inx x m in x x x????故 的取值范圍最大不超過(guò)? ?111 niixin ex?? ?? ??????? ?? ?? ?12 11 0niid ln L n XXd??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m in X X X?? ??故? ?1? XX?? ??? ? ? ?11 ?n iiln L n ln X? ? ???? ? ? ??又46 ? ?125 0 , 0 , , , nXx x x????例 ：設(shè)總體 服從 上的均勻分布， 未知， 試由樣本 求出 的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)。0 xX f x ??? ? ???????因 的概率密度為：其它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它? ? ?0,Ld ln nd? ??? ? ? ?由于 不能用微分法求? :L?從義發(fā)以下 定 出 求? ? ? ?120 , , , ,in nx x m a x x x x??? ? ?因?yàn)?故 的取值范圍最小為? ? ? ? ? ?1 ? LnnnL x L x L? ? ? ? ??? ? ?又 對(duì) 的 是減函數(shù)， 越小， 越大，故 時(shí)， 最大；? ? 0 1 2E X x d x X? ??? ? ??由? ?2 矩估計(jì)? ? ? ?12? , , ,LnnX m a x x x x?? ??所以 的極大似然估計(jì)量為? 2 X???47 表 1 例 2，例 4，例 5中兩種估計(jì)方法所得結(jié)果 例 題 矩估計(jì)量 極大似然估計(jì)量 例 2 例 4 例 5 21211? ()1? ()niiniiXXnX X Xn??????? ? ???? 2X? ? ? ?? nX? ?? ?? ?11??XXX?????221?L niinlnX??????????? ?2? 1 XX? ? ?48 167。49 ? ? ? ? 2226 , ,X E X D XXS??????例 ：設(shè)總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記 證明：樣本均值 和樣本方差 分別是 和 的無(wú)偏估計(jì)。 ? ? ? ? 0 , , ,2X U E X ????解： 1 , nX X X由于 與 同分布? ? ? ?? 2E E X??? ? ?12 niiEXn?? ? 2 2nn ? ?? ? ? ?? 2 X???因此 是 的無(wú)偏估計(jì)? ? ? ?? L nnXX? ?為考察 的無(wú)偏性，先求 的分布，5由第三章第 節(jié)知：? ? ? ? ? ? ,nnXF x F x? ????? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx ???????????于是 其它10nnx nx dx????? ?? ? ? ?? ??L nE E X? ?因此有： 1nn ?????? ??L nX? ?所以 是有偏的。在例 中，取 則 是 的無(wú)偏估計(jì) 無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)最常見(jiàn)的重要要求，是“好”估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)之一。52 有效性 ? ? ? ?121212,DD? ? ?? ? ???? ? ?設(shè) 是 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)， 如果 對(duì)一切 成立 則稱：比定義有效。0, n?? ? ? ? ?由契比雪夫不等式， 當(dāng) 時(shí)，? ? ? ?11 2DP ?? ? ? ?? ? ?有： 2 2 03n??? ?12? ? ?所以 和 都是 的相合估計(jì)。 3 區(qū)間估計(jì) ? ?? ? ? ?11 1 2 21112?, , , , ,nnnX X XX X X X????? ? ? ?? ? ???????點(diǎn)估計(jì)是由樣本求出未知參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)值 ， 而區(qū)間估計(jì)則要由樣本給出參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)范圍，并指出 該區(qū)間包含 的可靠程度。57 置信區(qū)間 置信度 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 2 2111121121。58 單側(cè)置信區(qū)間 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1 111 1 71, 7, 1 , 2,1,nnXXPXX? ? ?????????? ? ? ? ? ??? ?為 的單側(cè)置信下限在以上定義中，若將 式改為：則稱隨機(jī)區(qū)間 是 的置信度為 單側(cè)置 的 。? ?? ?? ? ? ?? ?? ?222 1172, , 1 , , , 7 31nnXXP X X? ? ????? ? ??? ? ? ? ? ???? ?又若將 式改為：則稱隨機(jī)區(qū)間 是 的置信度為 為的的單側(cè)置信上限單。59 正態(tài)總體均值方差的區(qū)間估計(jì) ? ? ? ?2 , N ??一 單個(gè)正態(tài)總體 的情形? ?2212, , , , , , 1nX X X N X S? ? ??來(lái)自 和 分別為樣本均值和方差 置信度為1. ?均值 的置信區(qū)間? ? 21 ? 已知時(shí)? ?, 0 , 1XXN n?? ? ?是 的無(wú)偏估計(jì) 由 2 1XPZn ?? ????? ? ?? ? ???????有22 1P X Z X Znn???? ????? ? ? ? ? ?????即22,X Z X Znn????????????置信區(qū)間為： 60 ? ? 22 ? 未知時(shí)? ?1X tnSn?? ?由 ? ? ? ?221 1 1XP t n t nSn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???????有? ? ? ?221 1 1SSP X t n X t nnn?? ????? ? ? ? ? ? ? ?????即? ? ? ?221 , 1SSX t n X t nnn????? ? ? ?????置信區(qū)間為： 0t1??2? 2?0t?61 22 . ?方差 的置信區(qū)間?設(shè) 未知? ? ? ?2 221 1nS n??? ?由 ? ? ? ? ? ?2221 2 2211 1 1nSP n n??? ? ????? ???? ? ? ? ? ?????有? ?? ?? ?? ?222222 1 211