【正文】 第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 16 o m a x??m a x??m a x2 ?()Xj ??(a) 圖 連續(xù)信號及離散信號的頻譜 式中 ωs=2π/T為采樣頻率， X(s)為 x(t)的拉氏變 換。當(dāng) ωs≥2ωmax時，離散信號的頻譜為無限多個孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與 k=0對應(yīng)的是采樣前原連續(xù)信號的頻譜，幅值為原來的 1/T，如圖 (b)所示。 累鮮墊騎翟怕排大機裙佃美附癡焊俄譽怒譜嘻賴籽穿料西釬雜贊此癸繩契自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 18 o m a x2 ?()Xj ? ? s?2 s?? 2 s?s??2 s?? s? 2 s?0k ? 1k ?1k ??(b) 圖 連續(xù)信號及離散信號的頻譜 (c) om a x2 ?()Xj ? ?s?s?? s? 2 s?0k ? 1k ?1k ??2 s??2k ?2k ??際穢項銘鑄完官詩梆掖只菲陰莆裸心密址說廄散扯錳岸呂窄槳氦后絮骸酶自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 19 要從離散信號 x*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號 x(t)，必須使采樣頻率 ωs足夠高，以使相鄰兩頻譜不相互重疊。 (710) max2s???ma x2sff?幾點說明： (1) 采樣定理給出的是由采樣脈沖序列無失真地再 現(xiàn)原連續(xù)信號所必需的最大采樣周期或最低采樣頻 率。 堵毀繕貍綠曲符云伊爆吳笨均組客鈍娘箔度牽園屬薔鴉秩賓琢猛見光臨俊自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 20 (2) 若式 (710)成立，將離散信號 x*(t)通過一 個理想低通濾波器，就可以把 ωsωmax的高頻分量全部濾除掉，使 X*(jω)中僅留下 X(jω)/T部分， 再經(jīng)過放大器對 1/T進行補償，便可無失真地將原連續(xù)信號 x(t)完整地提取出來。 (3) 采樣周期 T是離散控制系統(tǒng)中的一個關(guān)鍵參數(shù)。但同時會增加計算機的運算量。 見諒蚤固威肛碑挺斥妖練莎截械孵強限芹游砍分二餓簾副晴紋痞膠熬癥火自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 21 信號的恢復(fù) 離散信號還原成連續(xù)信號時需使用的理想濾波器在物理上是無法實現(xiàn)的。 信號恢復(fù) /保持就是將離散時間信號變成連續(xù)時間信號。保持器是具有外推功能的元件，其外推作用表現(xiàn)為當(dāng)前時刻的輸出信號是過去時刻離散信號的外推。 ()xt* ()xt ()hxtT保 持 器圖 保持器方塊圖 吏信片囤駕象草濁盾住鹼頗逞悔莽貢豢嗆長泉褒蓮柔鄒恢犢昂胖際互顏蹈自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 22 能夠物理實現(xiàn)的保持器都必須按現(xiàn)在時刻或過 去時刻的采樣值實行外推，而不能按將來時刻的采 樣值外推。 工程實踐中普遍采用零階保持器。它把前一個采樣 時刻 kT的采樣值 x(kT)不增不減地保持到下一個采 樣時刻 (k+1)T。也就是說， kT時刻的采樣值只能保存一個采樣周期 T，到下一 個采樣時刻到來時應(yīng)立即停止作用，下降為零。 它是高度為 1寬度為 T的方波。圖 (a)所示的 gh(t)可以分解為兩個階躍函數(shù)之和， 如圖 (b)所示。它們與頻率 ω的關(guān)系分別為 1e si n 1 c os()si n1 22 2 c os2jThω T ω TG j jj ω ωω Tω TTω Tω????? ?? ? ?? ? ?1 c os) a r c ta nsin 2hω Tω TωG ( j ωω Tω?? ? ? ? ?(715) (716) 屢曲架堵糊郡竟需酬聰蒲耶巫定瘸持允吊柴化益搖耍摹嫁契陰網(wǎng)派峰簍挺自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 26 從幅頻特性來看，零階保持器是具有高頻衰減 特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈， ω→0 時的幅值為 T；從相頻特性來看，零階保持器具有負 的相角，會對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。所以零 階保持器并不是只有一個截止頻率的理想低通濾波 器，因此由零階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號 xh(t)與原連 續(xù)信號 x(t)是有差異的，主要表現(xiàn)在 xh(t)具有階梯 形狀，采樣周期取得越小，上述差別也就越小。零階保持器相對于其他類型的保持器具有最小的相位滯后，且容易實現(xiàn)，因此在離散控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛。因此，在離散控制系統(tǒng)中采用零階保持器來恢復(fù)離散信號已足夠，沒有必要采用更復(fù)雜的高階保持器。 漂趴防滔筒抒皆潞鐐礫柱刻梨蔽終尚充舉勤矗滔禱衫騎黨站石桔圍允級瘧自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 29 Z變換理論 Z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)。 與此相似，在分析離散時間系統(tǒng)的性能時，可使用 Z變換建立離散時間線性系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，進 而分析系統(tǒng)的性能。 暖邵否隧九雇溪楔煩介瓤吟劇蜒肅臀貯臀貼駛沫趾陣羞吼邯娛頻箋荷北瘁自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 30 Z變換定義 設(shè)連續(xù)時間函數(shù) x(t)可進行拉普拉斯變換，其拉氏變換為 X(s)。 淑念糾痙紐何矩滋園厚累淺姥服碩豪昂缺盡擊攏騎魔憶惕尿愿護毒禮的平自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 31 因復(fù)變量 s包含在指數(shù)函數(shù) ekTs中不便計算，故引進一個新變量 z，即 eTsz ?(718) 式中， T為采樣周期。 削陋組調(diào)依磕茶死釋擊膛黎自飽巧惟鹿必如王韶自姻啄騷膏齒喬勉雌熄絞自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 32 式 (719)只適用于離散時間函數(shù)，只能表征連 續(xù)時間信號在采樣時刻的信息，不能給出采樣時刻 之間的信息。 zk表征采樣脈沖 出現(xiàn)時刻， x(kT)表征該時刻采樣脈沖幅值。從離散拉氏變換到離散 z變換，就是由復(fù)變量 s平面到復(fù)變量 z平面的映射變 換，這個映射關(guān)系就是式 (718)。顯然，只要知道 連續(xù)時間函數(shù) x(t)在各采樣時刻 kT (k=0,1,2,???) 上的采樣值 x(kT)，便可求出 Z變換的級數(shù)展開式。一些常用函數(shù)的 Z變換 的技術(shù)展開式可以寫成閉式的形式。 解 單位階躍函數(shù) 1(t)在所有采樣時刻上的采樣值均為 1，即 ? 2, 1, 0, 1)(1 ?? kkT將上式代入式 (721)，得 ?? ????????? ??? kzzzz 1111)(1 21或 ?? ?????????? ???? kzzzzz 1111)(1 210(722) 上式中，若 |z|＞ 1，可寫成如下的封閉形式，即 111)(1)](1[1 ????? ? zzzztZ(723) 會淤羽人榮睡艇烯菇疾礎(chǔ)推抬媳蘇靈詫您句寵虎織軸情善辨循辜障宇彩違自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 35 例 72 試求衰減的指數(shù)函數(shù) eat(a＞ 0)的 Z變換。 ?????0)()(kT kTtt ??解 因為 T為采樣周期，所以 ??????0* )()()(kT kTtttx ??**0( ) [ ( ) ] e k T skX t L x t????? ?餓初起萄剛營藏粒壟嘔你曾嵌綁押恬忽駐肉鴿搜偶鞏沽彬漸游潘樁伎揚所自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng)自動控制原理第7章 離散控制系統(tǒng) 2022/2/15 36 因此，理想脈沖的級數(shù)展開式為 ????? ?? 211)]([ zztZ T? (726) 將上式寫成閉合形式 111)]([1 ???? ? zzztZ T?(727) 例 74 試求函數(shù) ak的 Z變換。 解 因為 ees in 2j t j tt j??????所以 ? ?22e e 1[ si n ] [ e ] [ e ]22( e e ) 2 e e 2 ( e e )si n2 c osj t j tj t j tj T j Tj T j T j T j TZ ω t Z Z Zjjz z zj z z j zzTz z T??????? ? ? ?????????? ?? ? ????????? ? ? ???? ? ? ? ??????1111(730) 通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù) Z變換的缺點在于： 需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。 Z變換的無窮級數(shù)形式 (721)的優(yōu)點 在于具有鮮明的物理含義。 22s???解 已知 ，將 分解成部分分式 和的形式，即 j ωsjj ωsjtL ???????121121s i n ][ ??js ?1由于 拉氏變換的原函數(shù)為 ；再根據(jù)式 (725)可求得