【正文】 傅里葉變換存在時(shí)，它就是 的 。在 z平面， 的圍線就是半徑 為 1的圓，稱為 單位圓。 1z ??1z z j? ? ? 02???? ? ?1z j z? ? ? ?2?? ? ?? ? ?1z z j? ? ? ? ? 2?? ? ?? ? ? ? ?1z j z? ? ? ? 02???? ? ? ? z變換與拉氏變換的關(guān)系的閉合形式 zs平面與 平面的映射關(guān)系表達(dá)式: ,2,s=ssTjssjTrezze??? ???????????設(shè)又 其中 為序列時(shí)間間隔2 2,ssssTj T j TssfTfr ere e e???? ? ???? ? ? ???????? ?則即? 通過上面分析給出復(fù)變量 s和復(fù)變量 z的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也給出 s平面到 z平面的映射規(guī)律 – s平面上的復(fù)變量 s是直角坐標(biāo)， z平面上的復(fù)變量 z是極坐標(biāo) – s平面上的 軸對(duì)應(yīng)單位圓（ ） 拉普拉斯變換演變?yōu)楦道锶~變換 – ， s平面的左半面，對(duì)應(yīng) ,單位圓內(nèi) – ， s平面的右半面，對(duì)應(yīng) ,單位圓外 j? 0 , 1r? ??( ) ( ) ( ) jsjX s X j x t e d t? ???? ??? ? ? ?0? ? 1Tre???1Tre???0? ?? ?1 ) =s z r???映射平面上的虛軸 平面上的單位圓 1 z變換與拉氏變換的映射關(guān)系 ? ?2 ) s z r???映射平面上的左半平面 平面上的單位圓內(nèi) 1? ?3 ) s z r???映射平面上的右半軸 平面上的單位圓外 1 z變換與拉氏變換的映射關(guān)系 0 ?j? jIm(z)0Re(z)? ?4) sz ????映射平面上的實(shí)軸 平面上的正實(shí)軸 = 0z? ? ? ? ?映射平行于實(shí)軸的直線( 常數(shù)) 平 原面上始于 點(diǎn)的射線1 , 3 , zk rk ???? ? ? ? ???????映射s通過 j 平行于實(shí)軸的直線( ) =負(fù)實(shí)軸任意平面上2 z變換與拉氏變換的映射關(guān)系 0 , 15 ) z0 , 1rr??????????? ????映射平行于虛軸的直線 平面上的圓0 ?j? jIm(z)0Re(z) z變換與拉氏變換的映射關(guān)系 ,szsz?????映射s6) 平面沿虛軸移動(dòng) 平面上沿單位圓周期性旋轉(zhuǎn),每平移 則沿單位圓轉(zhuǎn)一圈.即 平面的映射并不是單值的.0 ?j?2s?2s??jIm(z)0Re(z)1 z變換與拉氏變換的映射關(guān)系 傅里葉變換在頻率上固有的周期性就自然得到了，因?yàn)樵?z平面上 弧度的改變相當(dāng)于繞單位圓一次，然后又重新回到原來的同一點(diǎn)上來。同樣， z變換也不是對(duì)所有序列或?qū)θ?z值都收斂 。如階躍序列 不是絕對(duì)可和的，因此它的傅里葉變換不收斂。 nr?( ) ( )x n u n?() nx n r? 1r?( ) ( )x n u n? 1z ? 和 是 z的多項(xiàng)式，且 的根是 的零點(diǎn)，使 的根是 的極點(diǎn)，使 成為無窮大。 1a ? n ? ??時(shí)，序列隨 衰減，序列的傅里葉變換收斂，收斂域包括單位圓 一個(gè)零點(diǎn) ，一個(gè)極點(diǎn) 0z? za?1111111za z a z z a??? ? ? ?? ? ?? ?10( ) 1nnX z a z????? ?n ? ??Re [ ]zI m [ ]z0 aX1a?? 上述兩個(gè)序列的 z變換的代數(shù)表達(dá)式和零極點(diǎn)完全相同，差異僅在收斂域不同，則對(duì)應(yīng)不同的序列 ? 因此給定 z變換表達(dá)式，同時(shí)一定要給出它的收斂域。 ?時(shí)移 設(shè)雙邊 z變換 ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??00[ ( ) ] ( ) ,n xZ T x n n z X z RO C R?? ? ?0[ ( ) ]Z T x n n?則 置換變量 0()nnx n n z??? ? ????0()() mnmx m z???? ? ?? ?0 ()n mmz x m z?? ?? ? ?? ?0m n n??0[ ( ) ]Z T x n n?證明 00[ ( ) ] ( ) ,n xZ T x n n z X z RO C R? ? ??時(shí)移 設(shè)單邊 z變換 ( ) [ ( ) ] , xX z ZT x n R O C R????00000001[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]nnmn m nn nnnZ T x n n x n n z x m z zz X z x n z???? ? ?? ? ??? ????? ? ? ??????則 000000010[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]nnmn m nnn nnZ T x n n x n n z x m z zz X z x n z??? ? ???????? ? ? ??????? 對(duì)于因果序列 ( ) ( ) ( ) 0 , 0X z X z x n n?? ? ?且000100[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]nn nnnZ T x n n z X z x n z z X z Z T x n n???? ? ???? ? ? ? ? ??0000110000[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ]nnnn nnnnZ T x n n z X z x n z z X z x n zZ T x n n??? ? ? ???? ? ? ? ?????但左移 右移 ? 乘以指數(shù)序列 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??( ) ( ) ,n xy n a x n R O C a R??1( ) [ ( ) ] ( )nY z Z T a x n X a z???( ) [ ( ) ]nY z Z T a x n?11( ) ( ) ( ) ( )n n nnna x n z x n a z X a z??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???則 證明 1xxR a z R????? xxa R z a R???? xRO C a R?所以 或 ? X (z)的微分 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??()( ) [ ( ) ] ,xd X zY z ZT n x n z R O C Rdz? ? ? ?1() ( ) ( ) [ ] ( )n n nn n nd X z d dx n z x n z n x n zd z d z d z? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ?11( ) [ ( ) ]nnz n x n z z Z T n x n?? ? ?? ? ?? ? ? ??證明 ()( ) [ ( ) ] d X zY z ZT n x n zdz? ? ?? 復(fù)序列的共軛 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??* * *( ) [ ( ) ] , xX z ZT x n R O C R??? ?? ?** * *** * *[ ( ) ] ( ) ( )( ) ( )nnnnnnZ T x n x n z x n zx n z X z????? ?? ? ????? ?????????????????????則 證明 ? 初值定理 設(shè) 是因果序列， ( ) [ ( ) ]X z Z T x n?()xn( 0 ) l im ( )zx X z???12( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )nnX z x n z x x z x z?? ? ?? ? ?? ? ? ? ??則 證明 考慮每一項(xiàng)的極限，可得證 ? 終值定理 設(shè) 是因果序列，其 z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在 z=1上，其他極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則： ()xn1l im ( ) l im ( 1 ) ( )nzx n z X z? ? ???? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) nnz X z z X z X z x n x n z??? ? ?? ? ? ? ? ??證明，利用序列的線性和位移性質(zhì) 是因果序列 ()xn10( 1 ) ( ) l im ( 1 ) ( )nnmmn mmz X z x m z x m z???? ? ? ???? ? ? ???????( ) 0 , 0x n n??因?yàn)? 在單位圓上沒有極點(diǎn)，上式兩端對(duì)取極限 1 10l im ( 1 ) ( ) l im ( 1 ) ( )nnzn mmz X z x m x m? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ?l im ( 0 ) ( 1 )