【正文】 模量計算與有限元仿真4 蜂窩夾層結構的研究現(xiàn)狀 蜂窩夾層結構的宏觀結構及芯層細觀結構性能的研究自 50 年代以來就得到了充分的發(fā)展，其研究范圍不斷拓廣，現(xiàn)已覆蓋了夾層結構的理論分析、數(shù)值計算，芯層的細觀結構性能分析，實驗方法等。同時發(fā)展了各種實驗方法，得到大量實驗結果。AIlen 提出的簡化模型將上下蒙皮與夾芯的作用單獨區(qū)分開來，對于極薄的上下蒙皮，假定其服從 Kirchhoff 假設，認為只能承受面內(nèi)的應力，忽略其抵抗橫向切應力；而夾芯極軟，僅能抵抗橫向切應力，忽略其面內(nèi)剛度和彎曲剛度。七十年代以來，隨著有限元等數(shù)值方法的發(fā)展，能夠考慮在解析分析中不得不被忽略的各種影響因素，如 Allen 模型雖然蜂窩芯層很軟，但由于它相對于蒙皮具有較大的厚度，忽略芯層的面內(nèi)剛度和彎曲剛度必然導致一些不容忽視的誤差，為了克服這一矛盾，相繼出現(xiàn)了一些考慮芯層面內(nèi)剛度的蜂窩夾層結構分析模型，并發(fā)展了一些有限元分析方法和有限元模型”，對于抗彎剛度，大部分的學者認為它對于抗彎剛度的貢獻主要在于一保持面板的間距，類似工字梁的腹板，由于芯子的彈性模量較低略去其彎曲應力，保留它的抗剪剛度，將夾芯視為服從剪切變形理論的正交各向異性層，確定了蜂窩夾芯面內(nèi)等效材料參數(shù)后，再進行求解。Gibson 公式具有解析形式，便于應用，但它僅考慮了蜂窩壁板的彎曲變形，而未考慮壁板的伸縮變形。1999 年，中山大學的富明慧等人考慮了蜂窩壁板的伸縮變形對面內(nèi)剛度的影響，對 Gibson 公式進行了修 第一章 緒論 5正。2022 年，Kim 等人對比研究了三角形，正六邊形及星形夾芯的面內(nèi)楊氏模量、剪切模量及其泊松比，面外壓縮屈服強度、剪切屈服強度以及芯子的彎曲剛度。Gibson 公式中所介紹的蜂窩材料等效參數(shù)解析表達式在蜂窩夾層結構相對密度 px／p 較小()的情況下，具有一定的精確度。為此，Warren 和 Kraynik 根據(jù)蜂窩結構中胞元周期性重復排列的特點，對其中的一個代表性胞元進行了分析，建立了簡單應變情況下的宏觀彈性本構方程，并引入簡化的梁模型柔性系數(shù)，得到了相應結構的宏觀等效彈性參數(shù)近似解析解(WK 結果)。2022 年 1 月，.，的幾何參數(shù)對內(nèi)凹蜂窩材料負泊松比的影響，并得到了泊松比大小與蜂窩結構肋板長度和寬度的關系。2022 年 2 月，柯映林等人研究了考慮幾何非線性響應的蜂窩芯材面內(nèi)等效彈性模量，得到了與變形相關的蜂窩芯層面內(nèi)等效彈性模量非線性增長關系。[3] 本文的所做的工作蜂窩夾芯結構目前已經(jīng)被廣泛應用于承力結構，甚至一些復雜結構，因此對于蜂窩等效方法的研究方法很多，而將蜂窩芯體的面內(nèi)模量等效成二維正交各向異性材料已得到廣泛的應用，蜂窩芯體面內(nèi)等效模量也得到了廣泛的研究，其中就包括由理論推導得到的 Gibson 公式及其修正式；而蜂窩芯體面外等效模量用等密度法、最小勢能以及最小余能原理得出。本章小結蜂窩夾層因其具有優(yōu)秀的力學性能以及重量輕的特點被廣泛應用諸多領域，尤其是在航空，航天等行業(yè)應用最廣。于是人們?yōu)榱藴p少工作量提出了蜂窩芯體及蜂窩夾層等效方法，其中較早時 Gibson 等將蜂窩芯體面內(nèi)模量等效成正交各項異性材料，芯體的等效模量由對單個蜂窩胞元進行推導得到， Gibson 等將蜂窩胞元的胞壁看成 BernoulliEuler 梁模型從而推導出了等效模量的解析式，即 Gibson 公式。本文利用有限元程序建立蜂窩芯體的實體模型和等效模型，并施加相應的約束，驗證等效模量的等效精度，并改變蜂窩芯體的宏觀尺寸，觀察等效精度的變化規(guī)律。Gibson 公式及 Gibson 修正形式均采用單個蜂窩胞元模型，利用了蜂窩結構的對稱性來進行推導。圖 六邊邊形蜂窩夾芯材料是最為常見的蜂窩芯體材料，如圖所示，XY 平面稱為共性面，XZ 和 YZ 平面稱為異性面。當應力作用面在異面平面內(nèi)或平行于它們時,蜂窩材料表現(xiàn)為共面性能，當應力作用面在共性面內(nèi)或平行于它時,蜂窩材料表現(xiàn)異面性能。在能量方面 Keysey 給出了異面剪切模量的計算公式；Gibson 導出了孔壁等厚的蜂窩芯力學參數(shù)的計算公式；考慮雙壁厚的影響,Burton 等修正了 Gibson 公式,得出了雙壁厚蜂窩力學參數(shù)公式,但公式?jīng)]考慮孔壁伸縮和剪切變形富明慧加入了孔壁的伸縮變形,但沒考慮剪切變形,而且計算蜂窩結構的等效模量計算與有限元仿真8的蜂窩芯是單壁厚的。在均勻化理論方面 Shi 等利用該理論計算了蜂窩材料的性能參數(shù),考慮蜂窩深度和局部扭曲的影響,計算精度較高。 共性面性能能分析研究蜂窩結構，推導芯體的等效模量參數(shù)至關重要，決定了等效模型的參數(shù)，最終也影響了等效結果的精度。下面胞元材料理論來分析胞元和 l 不同 角的共性面彈性模量。其力學性能可由 5 個模量來描述：彈性模量 和 ，剪切模量 ，泊松比xEyxyG、 。xy? xy??當蜂窩芯體在 X 和 Y 方向承受壓載時，如圖(b)和(c)，蜂窩壁彎曲變形。平行于 X 方向的應力 ，引起xEyx? x?蜂窩壁(長度為 )彎曲，取一個蜂窩壁為研究對象，把它當作一個長度為 ，寬度l l，高度為 ，彈性模量為 的梁。彎矩 M 為tbsE (21)sin2PlM??而由 X 方向的平衡可得 (22)(i)xhl??胞壁的彎曲變形為 蜂窩結構的等效模量計算與有限元仿真10 (23)3sin12xPlEI???其中 (24)3bt因而得到 X 方向的應變?yōu)? (25)21(sin)isinco1coxhlbllEI???????X 方向的彈性模量為 ，故得1xsE? (26)321cos()in)xstllh????同時 Y 軸方向的應變?yōu)?27)12cosinxhl???所以可得 XY 向的泊松比 y? (28)212cos(in)lxh?????在 Y 方向加載情況如圖 (c)所示，作用在蜂窩壁上的力分解在圖 (c)的底部。xyx?y圖 對于第四個獨立常數(shù)即剪切模量 ，利用圖進行計算。受力分析也如圖所示。對于蜂窩夾層結構的蜂窩芯層而言，由于受蒙皮層的約束，蜂窩壁板的伸縮變形的剛度并非小的可以忽略。X 方向加載時如下圖所示：第二章 蜂窩等效模量的推導與分析 13圖 (227)sin2PlM?? (228)(i)xhl??梁的彎曲變形為 (229)331sni2slEIbt???梁的伸縮變形為 (230)2cosxsPlbt????所以 X 方向的等效應變?yōu)? (231)23212sincosin(1cot)sllEbtl????????Y 方向等效應變?yōu)? (231)32211sincossinco(1)()Plthlbhl??????????則 (232) 2212 /scot()(in)xy ll???? (233)32221cos1()in)cot(/)xlEtElhl???????Y 方向加載時如圖 b 所示；蜂窩結構的等效模量計算與有限元仿真14圖 (234)???????????cos21lWMy梁的彎曲撓度為 (235)31sEbt?斜壁梁的伸縮變形為 (236)2inslt??豎直梁的伸縮變形為 (237)3sWhEbt?此時 Y 方向的等效應變?yōu)?(237)23 221232cosincos[1(/secot)](/in)slhlhlEbht l????? ?????X 方向的等效應變?yōu)? (238)32211 i()cosWltlEbt?????所以 (239)2212 2(sin)/1(/secot)yxhllhll????????第二章 蜂窩等效模量的推導與分析 15 (240)3 22sin1()co(/secot)ysthlEEhll?????蜂窩壁板伸縮變形對于等效的橫向剪切模量的影響不大,故 (241)32(/sin)()1coxy sthlGEl???顯然 ，且有 ，對于一個遠小于 1 的量近似地有xyxyE?yx?? (242)1/()????又因為 ，所以可以得到2/tl (243)3 22cos()(1cot/)in)xlEtEllh????? (244)22s(s/)(i)tlyl?? (245)3 222n)[1(/ectan)/]cosysthEEhlll ????? (246)2(i)sx?? 綜合考慮蜂窩壁板彎曲、伸縮、剪切的修正式在 BernoulliEuler 梁模型的基礎上，因為 Gibson 公式僅考慮蜂窩壁板的彎曲變形，富明慧在 Gibson 公式基礎上考慮了蜂窩壁板的伸縮變形，《蜂窩夾芯材料力學與介電性能研究》文中第二章中推導蜂窩等效模量時考慮壁板剪切變形。(/4)xyxyPIIty?????其中 3/12Idt利用虛功原理求剪切變形引起的端點撓度： (249)eWP??內(nèi)力虛功的表達式如下 (250)2 2(1)()xyxxyixyxyWdEd??????????????由虛功原理得： (251)eiW??將 代入即得,xy?? (252)32220 (1)[](1)/4)[ ]tlt PPltEIIxytyEdxII ???? ??????當蜂窩材料在 x 方向單軸加載時，平行于 X 方向的正應力 (拉伸)引起長度x?為 的一組孔壁彎曲，蜂窩胞元變形如圖所示：l第二章 蜂窩等效模量的推導與分析 17圖 材料的楊氏模量為 E，泊松比為 ，將單元胞壁視為長度為了 ，寬度為 b，?l厚度為 b 的歐拉梁。描述異性面變形需要另外的五個獨立模量，面外彈性模，剪切模量 ， ，泊松比 ， 。F?1 (274)13(2)sinzFEhl???? (275)t由 得： (276)F?12(cos)in()zEhl l??所以 (277)2(s)iztll?泊松比： (278)zxy??由互逆定理得 (279)xzyzE??且 (280)0xzy?而異面剪切模量的分析卻比較復雜，在剪切蜂窩體中的應力分布較復雜，每個蜂窩芯壁由于其周圍芯壁對其作用而產(chǎn)生非線性變形。X 向受剪時，在 X 方向上作用于 z 法向面的切應力 ，引起的均勻剪切應變xz?，芯壁 a、b、c 的剪切應變各為 ， 在 X 方向上的剪切。該原理給出了模量的上限，即 (281)221yziiG?????其中，G 是蜂窩芯壁材料的剪切模量， (i=a,b，c)是三個芯壁的剪切應變，i求和是對 a、b、c 三個芯壁的體積 、 和 進行的，計算可得aVbc (282)21osinyzGhltl???再結合最小余能能原理，該原理給出了模量的下限。該原理表達成不等式如下： (283)221()yziG?????考慮在 Y 方向上的加載，并假定外應力在 3 個壁孔上產(chǎn)生一組剪切應力， (284),abc?,abcc????由力平衡條件得 (285)2(os)in2siyz bahltlht???由上述條件即得 (286)cs(2)inyzGlthl???對于在 Y 方向受