【正文】 ）數(shù)學(xué)（理科） 本試卷共4頁，21小題， 滿分150分．考試用時120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再作答。5．考生必須保持答題卡的整潔。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高． 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．對于任意向量、下列命題中正確的是A． B． C． D．2．直線與圓的位置關(guān)系是A．相交 B．相切 C．相離 D．取決于的值文3（理1）．若（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程（）的一個解，則A． B． C． D． xyO圖1yxOA．xOB．xOC．xOD．yyy4．已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是 5．若函數(shù)的一個對稱中心是，則的最小值為A．1 B．2 C．4 D．846圖26．一個圓錐的正（主）視圖及其尺寸如圖2所示．若一個平行于 圓錐底面的平面將此圓錐截成體積之比為1﹕7的上、下兩 部分，則截面的面積為A． B． C． D．7．某輛汽車購買時的費用是15萬元，每年使用的保險費、路橋費、．年維修保養(yǎng)費用第一年3000元，以后逐年遞增3000元，則這輛汽車報廢的最佳年限（即使用多少年的年平均費用最少）是 A．8年 B．10年 C．12年 D．15年8．記實數(shù)，…，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，則A． B．1 C．3 D．二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．某商場銷售甲、乙、丙三種不同型號的鋼筆，甲、乙、丙三種型號鋼筆的數(shù)量之比依次為2﹕3﹕4．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為的樣本，其中甲型鋼筆有12支，則此樣本容量 ．10．已知 為銳角，且，則 ．11．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的五位數(shù)（結(jié)果用數(shù)值表示）．12．已知函數(shù)，點集，則所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為 ．13．?dāng)?shù)列的項是由1或2構(gòu)成，且首項為1，在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列 為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數(shù)列的前項和為，則 ； ．（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題） 14．（幾何證明選講選做題）在△中，是邊的中點，點在線段上，且滿足，延長交于點，則的值為 ． 15． （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，已知點，點是曲線上任意一點，設(shè)點到直線的距離為，則的最小值為 ．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）某單位有、三個工作點，需要建立一個公共無線網(wǎng)絡(luò)發(fā)射點，使得發(fā)射點到三個工作點的距離相等．已知這三個工作點之間的距離分別為，．假定、四點在同一平面內(nèi)．（1）求的大小；（2）求點到直線的距離．17．（本小題滿分12分）已知正方形的邊長為2，分別是邊的中點．（1）在正方形內(nèi)部隨機取一點，求滿足的概率；（2）從這八個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的距離為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．18．（本小題滿分14分）等邊三角形的邊長為3，點、分別是邊、上的點，且滿足（如圖3）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、 （如圖4）．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．BCED圖4圖3ABCDE19．（本小題滿分14分）已知，設(shè)命題：函數(shù)在區(qū)間上與軸有兩個不同的交點；命題：在區(qū)間上有最小值．若是真命題，求實數(shù)的取值范圍．20．（本小題滿分14分）經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點、．（1）求軌跡的方程；（2）證明：；（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．21．（本小題滿分14分）設(shè)是函數(shù)的零點．（1）證明：；（2）證明：．2013年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力對照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．題號12345678答案DACABCBD二、填空題：本大題查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．第13題第一個空2分，第二個空3分．9．54 10． 11． 12． 13．； 14． 15．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，本小題滿分12分）解：（1）在△中，因為，由余弦定理得 ………………………………………………………2分． ……………………………………………………3分因為為△的內(nèi)角，所以．……………………………………………………4分（2）方法1：因為發(fā)射點到、三個工作點的距離相等，所以點為△外接圓的圓心．……………………………………………………………………5分設(shè)外接圓的半徑為，在△中，由正弦定理得， ……………………………………………………………7分因為，由（1）知，所以．ABCOD所以，即．…………………8分過點作邊的垂線，垂足為，…………………………9分在△中，所以 ………………………………………………………11分 ．所以點到直線的距離為．……………………………………………………………12分方法2：因為發(fā)射點到、三個工作點的距離相等，ABCOD所以點為△外接圓的圓心．……………………5分連結(jié)，過點作邊的垂線，垂足為， …………………6分由（1）知，所以．所以．………………………………………9分在△中，所以．…………………………………………………………11分所以點到直線的距離為．……………………………………………………………12分17．（本小題主要考查幾何概型、隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與數(shù)據(jù)處理能力等，本小題滿分12分）解：（1）這是一個幾何概型．所有點構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形的內(nèi)部，其面積是． ………………………………………………1分滿足的點構(gòu)成的平面區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個以為圓心、為半徑、ABCDEFGH圓心角為的扇形的內(nèi)部（即四分之一個圓）與兩個直角邊為1的等腰直角三角形（△和△）內(nèi)部構(gòu)成． ……………………………………………………………2分其面積是．………………3分所以滿足的概率為．………………………………………………………4分（2）從這八個點中，任意選取兩個點，共可構(gòu)成條不同的線段． ………………………………………………………5分其中長度為1的線段有8條，長度為的線段有4條，長度為2的線段有6條，長度為的線段有8條，長度為的線段有2條．所以所有可能的取值為．……………………………………………………7分且， ， ， ． ………………………………………9分所以隨機變量的分布列為：……10分隨機變量的數(shù)學(xué)期望為．…………………………12分ABCDE18．（本小題主要考查空間直線與平面垂直、直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運算求解能力等，本小題滿分14分）證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，所以，．在△中，由余弦定理得．因為，所以．折疊后有．……………………………………………………………………………………2分因為二面角是直二面角，所以平面平面． …………………………3分又平面平面，平面，所以平面． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假設(shè)在線段上存在點，使直線與平面所成的角為．BCEDHP如圖，作于點，連結(jié)、．………………5分由（1）有平面，而平面，所以．…………………………………………………6分又，所以平面．…………………………………………………………………………………7分所以是直線與平面所成的角． ……………………………………………………8分設(shè)，則，．…………………………………………………9分在△中，所以．………………………………………………10分在△中，．………………………………………………………11分由，得．…………………………………………………………………………12分解得，滿足，符合題意．……………………………………………………………13分所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．………14分解法2：由（1）的證明，可知，平面．BCEDHxyzP 以為坐標(biāo)原點，以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． …………………………………………………………5分設(shè)，則，． ……………………6分所以，．…………7分所以．……………………………………………………………………………8分因為平面，所以平面的一個法向量為．……………………………………………………9分因為直線與平面所成的角為，所以 ………………………………………………………………………………10分，……………………………………………………………11分解得． ……………………………………………………………………………………………12分即，滿足，符合題意． ……………………………………………………13分所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．………14分19．（本小題主要考查二次函數(shù)的交點與分段函數(shù)的最值、常用邏輯用語等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和運算求解能力、抽象概括能力等，本小題滿分14分）解：要使函數(shù)在上與軸有兩個不同的交點，必須……………………………………………………………………………………………2分即………………………………………………………………………………4分解得．所以當(dāng)時，函數(shù)在上與軸有兩個不同的交點．…5分下面求在上有最小值時的取值范圍：方法1：因為…………………………………………………………6分①當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上無最小值；…………