【正文】 兩個(gè)不等實(shí)根。 （I）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程； （II）設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線上，求直線AB的方程。解：（I）圓過點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。直線AB的方程是或40．（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）. 將代入，化簡(jiǎn)得0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。41．（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且CC2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. ，（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.（II）解法一： 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為．AyBOx由消去得…①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.　　由　消去y得. ………………②因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以，②有.即. 　　 …………………③由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.從而＝. 解得　　　……………………④又AB過C＼、C2的焦點(diǎn)，所以，則 …………………………………⑤由④、⑤式得，即．解得于是因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.　或．由上知，滿足條件的、存在，且或，．解法二： 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，．因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又過C2的焦點(diǎn)，所以.即. 　 ……①由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②且直線AB的方程是,所以. ……③又因?yàn)椋? ……④ 將①、②、③代入④得．　　……………⑤　　因?yàn)?，所以．　　…………⑥將②、③代入⑥得　　……………⑦由⑤、⑦得即解得．將代入⑤得　　或．由上知，滿足條件的、存在，且或，42．（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且CC2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；　（Ⅱ）若且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.解　（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為 x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （Ⅱ）解法一　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. ……①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.AyBOx因?yàn)锳B既是過C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過C2的焦點(diǎn)的弦，所以，且.從而.所以，即.解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.解法二　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 　　　　　　　 ……①因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以，①有.即. ……②設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.由消去y得. 　　……③由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.從而＝. 解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為. 解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又是過C2的焦點(diǎn)，所以.即. ……①由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②且直線AB的方程是,所以. ……③又因?yàn)?，所? ……④ 將①、②、③代入④得，即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.43．（江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(ab0),其半焦距c=6∴,b2=a2c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，6)、F2，(0，6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為44．（江西卷）如圖，橢圓Q：（ab0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)（1） 求點(diǎn)P的軌跡H的方程（2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0q163。當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1185。當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因?yàn)?，橢圓 Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0q163。此時(shí)a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韋達(dá)定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝令t＝k2＋1179。因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1185。當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：\M（，），N（ ，－），F(xiàn)（c，0），使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則tan＝＝，即a2＝3b2. 由于，則1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan46．（遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,(I) 證明線段是圓的直徑。【解析】(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因?yàn)閤2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x2y2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .【點(diǎn)評(píng)】本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力.47．（遼寧卷）已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．（1）證明線段是圓的直徑；（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，