【正文】 i2 =?1， i：虛數(shù)單位，一種記號約定） 將有爭議的虛數(shù)合法化： 一維實(shí)數(shù) ? 二維實(shí)數(shù) 第一章 復(fù)變函數(shù) 核心問題：如何定義復(fù)數(shù)？ 復(fù)數(shù)是否有物理意義？ 1的平方根是否有意義？ 復(fù)數(shù)的本質(zhì)：有序?qū)崝?shù)對 (x, y) 12 復(fù)數(shù)定義 ： 設(shè)一對有序?qū)崝?shù) (x, y) 遵從下列運(yùn)算規(guī)則 x 為其實(shí)部， y 為虛部 加法 (x1, y1) ＋ (x2, y2) ＝ (x1＋ x2, y1 ＋ y2) 乘法 (x1, y1) (x2, y2) ＝ (x1 x2－ y1y2, x1y2 ＋ x2y1) 則這一對有序?qū)崝?shù) (x, y)定義了一個復(fù)數(shù)， z＝ (x, y) 復(fù)數(shù)相等： 兩復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等 實(shí)數(shù) → 復(fù)數(shù) 擴(kuò)大數(shù)域，定義運(yùn)算規(guī)則 復(fù)數(shù) ： i2 = ?1，為什么？ 高斯：正十七邊形作圖 簡單概念的引入可解決世界性的難題 13 (1,0)具有和實(shí)數(shù) 1同樣的運(yùn)算效果 特殊的復(fù)數(shù)：實(shí)數(shù) 1 (1, 0) (1, 0) ＝ (1, 0) (1, 0) (x, y) ＝ (x, y) (1, 0) ＝ 1 定義了虛數(shù)單位 i＝ (0, 1) 特殊的復(fù)數(shù)：虛單位 i (0, 1) (0, 1) ＝ (－ 1, 0)＝－ 1 i 2＝－ 1 復(fù)數(shù) z 可記為 iyxz ?? zx Re?zy Im?特殊的復(fù)數(shù)： 0 (x, y) +(0, 0) ＝ (x, y) (x, y) (0, 0) ＝ (0, 0) 14 ( ) ( ) ( )a i b c i d a c i b d? ? ? ? ? ? ?復(fù)數(shù)減法：復(fù)數(shù)加法的逆運(yùn)算 2 2 2 2( ) ( )( ) ( )a ib a ib c id a c b d b c a dic id c id c id c d c d? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??復(fù)數(shù)除法：復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算 復(fù)數(shù)的共軛： *z x i y?? z x i y??與 互為共軛 22( )( )x i y x i y x y? ? ? ?15 z y x ??0 幾何表示 x 軸為實(shí)軸， y 軸為虛軸，構(gòu)成復(fù)數(shù)平面 復(fù)數(shù) z 為此平面上的一點(diǎn) 從幾何上看，復(fù)數(shù)又是此平面上的一個矢量， 為矢量長度， 為幅角。它在數(shù)值計(jì)算中是一個整體，服從通常的四則運(yùn)算規(guī)則。 定理： 1,ie ??? ,e?是超越實(shí)數(shù)， , , ,1ei? 四個似乎毫無關(guān)系的 數(shù)，極其美妙地結(jié)合在一起，這反應(yīng)了歐拉公式的深刻內(nèi)涵意義。 (1)復(fù)數(shù)零的幅角無意義，模為 0。關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義需要借助測地投影法。由此，每一有限的復(fù)數(shù) 投影到球上一點(diǎn) 。 所有的無窮大復(fù)數(shù)（平面上 無限遠(yuǎn)點(diǎn) ）投影到唯一的北極 N。其模無窮大，幅角無意義。0 ??b(3)a≠∞ 時， ,0 , ????? aa 。 ∞ ， 0 （ 即 圖中淡灰色 ） － 1 － i x y 25 【 解法 2 】 根據(jù)輻角定義得出，由iz x y?? 222 2 2 222i i i 1 2ii i i ( 1 ) ( 1 )i2a r g ( ) a r c t a ni1z x y x y xz x y x y x yzxz x y? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? 由題意得到 222 π0 a r c ta n ( )14xxy????? 注意到，在( 0 , π / 4 )的角度區(qū)域，正切函數(shù)是單增的，對上 述 不等式 兩邊 均取正切 得到 222011xxy????? 由此 得到 220( 1 ) 2xxy???? ? ?? 或 220( 1 ) 2xxy???? ? ?? 注意到 22( 1 ) 2xy? ? ?是以（－ 1 ， 0 ）為圓心，以 2 為半徑的圓周，所以滿足題給條件的是圖 1. 10 中灰色的部分 . 根據(jù)題給輻角不等式，對于 0x ? ，其輻角不滿足要求 . 26 例： 11( + )22/ 2 / 2 / 2=1( 1 ) ( 1 )= = =1 ( ) 2 sin2i n ii in i inniki i i ike e e e e eee e e e i??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ????1 1 1 1c o s [ ( + ) ] c o s ( ) sin [ ( + ) ] sin ( )2 2 2 2=+2 sin 2 sin22nni? ? ? ??????? ?=1c o s + s in =nkk i k???27 復(fù)變函數(shù) 在復(fù)平面上一點(diǎn)集 E 中每一點(diǎn) z ，都有一個或幾個復(fù)數(shù) w與之對應(yīng)，稱 w為 z 的函數(shù)， E 為定義域，記 w =f(z)， z? E 。則稱 y 為 x 的函數(shù)。 連續(xù)： 可微： Cn ： n 次可微 , C? ： 無限可微 (一 ) 復(fù)變函數(shù)的定義 11??例 28 (二 ) 區(qū)域的概念 鄰域 定義 由不等式 (ε為任意小的正數(shù) )所確定的平面點(diǎn)集 (簡稱點(diǎn)集 )，就是以 z0為中心的 ε鄰域或鄰域。 ε 0z實(shí)函數(shù)定義域 復(fù)函數(shù)定義域 推廣 （區(qū)域） 29 定義 設(shè) G為點(diǎn)集， z0為 G中的一點(diǎn)。若在點(diǎn) z0的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬于 G的點(diǎn)，也有不屬于 G的點(diǎn)，則稱點(diǎn) z0為 G的邊界點(diǎn)，點(diǎn)集 G的全部邊界點(diǎn)稱為 G的邊界。 —— 區(qū)域就是一個連通的開集 區(qū)域 G加上它的邊界 C稱為閉區(qū)域，記為 G閉區(qū)域中連續(xù)函數(shù)性質(zhì)： |f(z)|有界，并達(dá)到它的上下界； f(z)一致連續(xù)。如果函數(shù)沒有特殊的性質(zhì)，如解析性，這兩個部分將是相互獨(dú)立的。 0zxyz?vu0()w f z??連續(xù)： 0zz ? )()(0zfzf ?或： 00x x y y??.),(),( ),(),(000000?????yxvyxvyxuyxu視 z 為矢量 ，可以設(shè)矢量函數(shù) ( ) ( , ) ( , )w z iu x y jv x y??這是平面上的矢量場 z ix jy??34 補(bǔ)充討論： 復(fù)變函數(shù)的可視化圖形 四維數(shù)據(jù)的表示：三個空間坐標(biāo) +顏色 xy平面 (復(fù)平面 ) z軸 (實(shí)部 )+顏色 (虛部 ) 1 0 . 500 . 511 0 . 500 . 511 0 . 500 . 51 z 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81()f z z?35 1 0 . 500 . 511 0 . 500 . 511 0 . 500 . 51 z3 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 813()f z z?33( ) ( c os 3 si n 3 )iei?? ? ? ???三個高峰對應(yīng)實(shí)部的最大值： cos 3 1? ?