【正文】 如異面直線的距離，線線、線面、面面所成角等異于平面幾何的全新概念都與“垂直”有關(guān)； ●另方面，它是空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的立交橋．如三垂線定理、眾多的性質(zhì)定理或者判定定理都依賴于垂直條件； ●同時它還是各類計算公式（角、距離、面積、體積等）的必要構(gòu)成．可以說，“垂直”的知識容量大，關(guān)聯(lián)元素多，發(fā)散余地大，在客觀上是處于核心地位的． 在立體幾何中，可謂“處處有垂直，垂直無處不在” . （２）垂直是高考 立體幾何命題重點中的重點． ●由于垂直的核心地位，在高考立體幾何命題中它理所當然的成為重點考察的對象． ●近年來，由于教材的原因，垂直的地位又被進一步強化，因為高中教材的立體幾何有兩個版本，一個是傳統(tǒng)的綜合幾何體系（主體），一個是空間向量的體系．命題中為了雙方兼顧，常常有便于建立空間坐標系的考慮，因而都故意設(shè)計有垂直的條件． （３）垂直是探索解題思路的重要突破口 從探索解題思路的角度看問題，垂直也需要放在優(yōu)先考慮的地位．面對多個已知條件不妨優(yōu)先選擇垂直的條件；構(gòu)造輔助線不妨優(yōu)先作出垂直的輔助線（垂線或 垂面）；面對關(guān)系的轉(zhuǎn)化也不妨優(yōu)先使用垂直關(guān)系來促進轉(zhuǎn)化． 抓住了垂直（不是只抓垂直），并做上一批高考立體幾何題，臨場的立體幾何成績一定能有立竿見影的提高．立體幾何中的垂直包括線線垂直、線面垂直、面面垂直，其中最基本的是線線垂直，而最關(guān)鍵、最體現(xiàn)空間特征的是線面垂直． 解法 1 如圖 2，直線 AB 分別與平面 ? 所成的角為 1BAB? ，直線 AB 分別與平面 ? 所成角的為 1ABA? ，二面角 11A AB B??的平面角為 1AFE? .（略） 圖 2 圖 3 解法 2 如圖 3 建 立 空 間 直 角 坐 標 系 ， 使? ? ? ? ? ? ? ?110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0A A B B.（略） 解 法 3 （ 1）如圖 4，將已知條件實現(xiàn)在長方體中，則直線 AB 與平面 ? 所成的角為 1BAB? ，直線AB 與平面 ? 所成角的為 1ABA? .在直角 1BAB 中，有122AB BB?? ，故 1BAB? = 45 ；在直角 1ABA 中，有122AB AA?? ，故 1ABA? =60 . （ 2）如圖 4，作 ,AC AB BD AB??有 113sin 6 0 ,2sin 4 5 1 .A C A AB D B B?? 設(shè)二 面角 11A AB B??的平面角為 ? ，則 圖 4 ? ? ? ?11111111c os3122 1 1423C A DBC A DBC A AA DB BBAA AB BB AB????? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1 10 1 2 c os 60 2 2 c os 135 42 4 4 232 1 1 102 2 2313??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ?????? 得 3a r c c o s 3? ? . 233 變題 變題 1 如圖 5，四邊形 11AABB 中， 1ABB 是直角三角形，11 45B AB B BA? ? ? ?； 1AAB 是直角三角形， 112A AB A BA? ? ? .現(xiàn)將 1ABB繞 AB 旋轉(zhuǎn)，使 110AA BB??.求： （ 1）直線 AB 分別與平面 11ABB 、 11AAB 所成角的大??； （ 2）二面角 11A AB B??的大小 . 圖 5 圖 6 變題 2 如圖 6， 1ABB 中，有 1 1 1 1, 30 , 45 ,A A B B A B B A B B? ? ? ? ?現(xiàn)將三角形沿高線 1AA 對折，使 11BB AB? ，求： （ 1）直線 AB 分別與平面 11ABB 、 11AAB 所成角的大小； （ 2）二面角 11A AB B??的大小 . 變題 3 在三棱錐 11A ABB? 中， 1AA? 面 11ABB ， 1BB? 面 1AAB ，已知 1 1,AA? 1 2BB? ， 2AB? .求： （ 1）直線 AB 分別與平面 11ABB 、 11AAB 所成角的大??； （ 2）二面角 11A AB B??的大小 . 24 案例 4— 2022 陜西理 21 的討論 化歸為課本已經(jīng)解決的問題 如果要用一句話回答“怎樣解答高考數(shù)學題？”我認為最實用也最重要的是：化歸為課本已經(jīng)解決的問題． 240 理由 （ 1）因為課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導(dǎo)。羅增儒教授簡介 羅增儒教授，男，漢族， 1945 年 1 月生，廣東省惠州市人． 1962年就讀中山大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)，畢業(yè)后在陜西省耀縣水泥廠當過礦山職工和子弟中學教師， 1985 年底調(diào)入陜西師范大學數(shù)學系．歷經(jīng)講師、副教授、碩士研究生導(dǎo)師，于 1996 年 6 月聘為教授， 2022 年 11 月聘為課程與教學論（數(shù)學）博士研究生導(dǎo)師（西南師范大學，陜西師范大學）．曾先后擔任陜西師范大學數(shù)學教育研究所所長、教務(wù)處處長、陜西省數(shù)學會常務(wù)理事、陜西省中學數(shù)學教學研究會副理事長、西安市中學數(shù)學教學研究會理事長、 中國教育學會中學數(shù)學教 學專業(yè)委員會學術(shù)委員、 《數(shù)學教育學報》編委 、中國數(shù)學奧林匹克首批高級教練 ．獲國家級優(yōu)秀教學成果二等獎 1 次（ 1993 年），省級優(yōu)秀教學成果獎 4 次（ 1989 年， 1995 年， 1999 年， 2022 年）， 1994 年 10 月起享受國務(wù)院政府特殊津貼， 1999 年獲曾憲梓教育基金會全國高師優(yōu)秀教師獎． 羅增儒教授堅持教學、科研平行發(fā)展，已為本科生、研究生講授了《中學數(shù)學教材教法》、《初等代數(shù)研究》、《初等幾何研究》、《考試學》、《數(shù)學解題論》、《數(shù)學競賽論》、《數(shù)學教學論》、《數(shù)學方法論》等課程．自 1980 年以來，在《教育研 究》、《數(shù)學教育學報》、《數(shù)學通報》等 30 多種刊物發(fā)表論文 300 余篇，被《中國人民大學報刊復(fù)印資料》全文復(fù)印 30 余篇．在海內(nèi)外多家出版社出版了《數(shù)學解題學引論》（ 2022 年 7 月）、《數(shù)學競賽導(dǎo)論》（ 2022 年 7 月）、《中學數(shù)學課例分析》（ 2022 年 7 月）、 《怎樣解答高考數(shù)學題》（ 1995 年 1 月）、《怎樣解答中考數(shù)學題》（ 1996年 2 月）、 《數(shù)學的領(lǐng)悟》（ 1997 年 1 月）、《直覺探索方法》（ 1999年 9 月）、《零距離數(shù)學交流》（ 2022 年 5 月）等書 10 多本，計300 多萬字． 羅增儒教授的主要工作有 3 個方向： ⑴ 數(shù)學教學藝術(shù)的理論與實踐 —— 形成了“示范教學法”，實踐 “案例教學”； ⑵ 數(shù)學解題理論的基礎(chǔ)建設(shè) —— 提出了“數(shù)學解題教學法”； ⑶ 數(shù)學競賽學的基礎(chǔ)建設(shè) —— 搭起了“數(shù)學競賽學”的一個理論框架． 羅教授 從礦山工人到中學教師、大學教授，再到博士生導(dǎo)師的歷程，被中學數(shù)學界傳為“羅增儒道路”． 如何學會數(shù)學解題（羅增儒） 第 1 步：簡單模仿 ． 即模仿著教師或教科書的示范去解決一些識記性的問題．這是一個通過觀察被模仿對象的行為，獲得相應(yīng)的表象，從而產(chǎn)生類似的過程，也是對解題基本模式加以認識并開始積累的 過程．對于認知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有數(shù)學學習中輸入信息并開始相互作用的功能，其本身會有體驗性的初步理解． 學寫字從模仿開始，學寫作從模仿開始，學繪畫從模仿開始，學音樂舞蹈也都從模仿開始，每節(jié)數(shù)學課后的作業(yè)基本上都是模仿性練習． 波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》序言中說：解題“只能通過模仿和實踐來學到它”，張景中在《幫你學數(shù)學》 P． 46 中說“摹仿是學習的開始”． 這一步中，記憶是一項重要的內(nèi)容，由記到憶，是指信息的鞏固與輸出的流暢，要解決好：記憶的敏捷性 (記得快 )，記憶的持久性 (記得牢或忘得慢 )，記憶的準確性 (記得準 )，記憶的準備性 (便于提取 )．而要真正做到、做好這 4 點，還需要進入第 2 步． 第 2 步：變式練習． 即在簡單模仿的基礎(chǔ)上邁出主動實踐的一步，主要表現(xiàn)為做數(shù)量足夠、形式變化 (干擾性 )的習題，本質(zhì)上是進行操作性活動與初步應(yīng)用．其作用首先是通過變換方式或添加次數(shù)而增強效果、鞏固記憶、熟練技能；其次是通過必要的實踐來積累理解所需要的操作數(shù)量、活動強度和經(jīng)驗體會．對于認知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有新舊知識相互作用的功能，做好了能形成新認知結(jié)構(gòu)的雛形． “變式”是防止非本質(zhì)屬性泛化的一個有效措施，中國的數(shù)學教育有“變式教學 ”的優(yōu)良傳統(tǒng)，“變式練習”是這一傳統(tǒng)在解題教學上的重要體現(xiàn)． 第 3 步：自發(fā)領(lǐng)悟． 即在模仿性練習與干擾性練習的基礎(chǔ)上產(chǎn)生理解 —— 解題知識的內(nèi)化 (包括結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系 )．但在這一階段，領(lǐng)悟常常從直覺開始，表現(xiàn)為豁然開朗、恍然大悟，而又“只可意會 ,不可言傳” （默會知識） ．這實際上是一個各人自己去體會“解題思路的探求”、“解題能力的提高”、“解題策略的形成”、“解題模式的提煉”，從而獲得能力的自身性增長與實質(zhì)性提高的過程 （生成個體經(jīng)驗） ．對于認知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有形成新認知結(jié)構(gòu)的功能． 由于單純的 實踐不能保證由感性到理性的飛躍、由“雙基”到能力的升華，而這種飛躍或升華又需要一個長期的積累，因而，這是一個漫長而又不可逾越的必由階段 (會存在高原現(xiàn)象 )．目前的很多學生就被擋在了這一步，很多優(yōu)秀學生也就停留在這一步，我們自己也總在這一階段上掙扎，但已經(jīng)認識到：為了縮短被動、自發(fā)的過程，為了增加主動、自覺的元素，解題學習還應(yīng)有第 4 步． 第 4 步：自覺分析． 即對解題過程進行自覺的反思，使理解進入到深層結(jié)構(gòu)．這是一個通過已知學未知、通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學會解題”的過程，也是 一個理解從自發(fā)到自覺、從被動 到主動、從感性到理性、 從“基礎(chǔ)”到創(chuàng)新、 從內(nèi)隱到外顯的飛躍階段，操作上通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個步驟． 這個階段與解題書寫的最后一個環(huán)節(jié)（檢查驗算）是有區(qū)別的，它不僅反思計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多更簡單的途徑等，而且要提煉怎樣解題和怎樣學會解題的理論啟示（有構(gòu)建“數(shù)學解題學”的前景）． 相對于認知結(jié)構(gòu)的改變而言，這一步具有形成并強化新認知結(jié)構(gòu)的功能． 這四個階段與數(shù)學學習的一般過程是吻合的，但由于數(shù)學解題是一種創(chuàng)造性活動，因而，它只是符合“鑰匙原理”，而非打開一切題目 大門的萬能鑰匙． 高考數(shù)學的解題研究（ 陜西師范大學數(shù)學系 羅增儒） 1 從數(shù)學高考到高考數(shù)學 從 1977 年恢復(fù)高考（各省單獨命題）到 2022 年陜西高考單獨命題，歷史走過了波瀾壯闊的 30 個春秋，環(huán)繞著高考工作的文化積累正在考試學、數(shù)學等維度形成學術(shù)成果。 11 數(shù)學高考 （ 1）數(shù)學高考的性質(zhì) ●畢業(yè)考是基礎(chǔ)教育的終點，高考是高等教育的起點 . ●水平考試與選拔考試 （有競爭） ●平時教學按教學規(guī)律進行，高考復(fù)習按考試規(guī)律進行 . （ 2）數(shù)學高考命題的風格 高考命題一直在“穩(wěn)中求進，穩(wěn)中求變、穩(wěn)中求新”，探索 公平選拔、 為素質(zhì)教育服務(wù)的道路，已形成了一些穩(wěn)定性的風格和值得注意的導(dǎo)向 . ●在明確考查“三基四能力”的基礎(chǔ)上，更突出數(shù)學思想方法的考查，突出數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系 . ●在主體上考查中學數(shù)學的同時，體現(xiàn)進一步學習 高等數(shù)學的需要 .特別是一些有挑戰(zhàn)性的壓軸題，尤其各省獨立命題之后，“注重理論數(shù)學，檢測考生后繼學習的潛能”（有人看到了高考與競賽的相互滲透） . ●新課程理念的滲透 .雖然新世紀課程改革剛剛起步（高中教材才開始試用），但其三維目標和十個基本理念已開始滲透（課程改革改到哪里，高考改革也改到哪里） .如 ，命題 范圍拓展了，出現(xiàn)人文關(guān)懷，體現(xiàn)“情感、態(tài)度、價值觀”課程目標 . ●在命題技術(shù)上，可以看到： ① 以教材為依據(jù)，又不拘泥于教材 . ② 在知識交匯處設(shè)計命題 . ③ 能力立意 .改變了過去的知識立意 . ④ 減少題量，降低難度，增加學生分析思考的時間 . ⑤ 對三類題型設(shè)計了兩個從易到難的三個小高潮 . ⑥ 變小量難題把關(guān)為全卷把關(guān) . ⑦ 試題切入容易深入難（階梯題） . ⑧ 避免死記硬背的內(nèi)容和繁瑣的運算（試卷提供難記易忘的公式） . ⑨ 文理分卷，難度有區(qū)別（姐妹題） . 研究或了解高