[高考數(shù)學]高中數(shù)學試題：平面向量單元復習題一-在線瀏覽
2025-02-26 16:02本頁面
【正文】 是一個梯形， AB∥ CD，且 AB＝ 2CD， M、 N 分別是DC 和 AB 的中點，已知 AB→ ＝ a， AD→ ＝ b， 試用 a、 b 表示 BC→ 和 MN→ . 【解法一】 連結(jié) CN，則 AN ∥＝ DC ∴ 四邊形 ANCD 是平行四邊形 . CN→ ＝－ AD→ ＝ － b，又 ∵ CN→ ＋ NB→ ＋ BC→ ＝ 0 ∴ BC→ ＝－ CN→ － NB→ ＝ b－ 12 a ∴ MN→ ＝ CN→ － CM→ ＝ CN→ ＋ 12 AN→ ＝ － b＋ 14 a＝ 14 a－ b 【解法二】 ∵ AB→ ＋ BC→ ＋ CD→ ＋ DA→ ＝ 0 即： a＋ BC→ ＋ （－ 12 a） ＋ （－ b） ＝ 0， ∴ BC→ ＝ b－ 12 a 又 ∵ 在四邊形 ADMN 中，有 AD→ ＋ DM→ ＋ MN→ ＋ NA→ ＝ 0， 即： b＋ 14 a＋ MN→ ＋ （－ 12 a） ＝ 0， ∴ MN→ ＝ 14 a－ b. 【評注】 比較兩種解法，顯然解法二更簡捷 . 18． （本小題滿分 14 分）已知平行四邊形 ABCD 的兩條對角 線 AC 與 BD 交于 E， O 是任意一點，求證 OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ＋ OD→ ＝ 4OE→ . 【證明】 ∵ E 是對角線 AC 與 BD 的交點， ∴ AE→ ＝ EC→ ＝－ CE→ ， BE→ ＝ ED→ ＝－ DE→ . 在 △ OAC 中， OA→ ＋ AE→ ＝ OE→ ， 同理有 OB→ ＋ BE→ ＝ OE→ ， OC→ ＋ CE→ ＝ OE→ ， OD→ ＋ DE→ ＝ OE→ . 四式相加可得： OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ＋ OD→ ＝ 4OE→ . 19． （本小題滿分 14 分）四邊形 ABCD 的邊 AD 和 BC 的中點分別為 E、 F， 求證： EF→ ＝ 12 （ AB→ ＋ DC→ ） 【證法一】 ∵ E、 F 分別為 DA、 BC 的中點 . ∴ DE→ ＝ EA→ ， FC→ ＝ BF→ 又 ∵ EF→ ＋ FC→ ＋ CD→ ＋ DE→ ＝ 0 ① EF→ ＋ FB→ ＋ BA→ ＋ AE→ ＝ 0 ② ① ＋ ② ，得 2EF→ ＋（ FC→ ＋ FB→ ）＋（ CD→ ＋ BA→ ）＋（ DE→ ＋ AE→ ）＝ 0 ∴ 2EF→ ＝－ CD→ ＋（－ BA→ ）＝ DC→ ＋ AB→ ∴ EF→ ＝ 12 （ AB→ ＋ DC→ ） 【證法二】 連結(jié) EC， EB ∵ EF→ ＋ FC→ ＝ EC→ ①
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