【正文】 ，作 AB? a， BC? b，則向量 AC 叫做 a與 b 的和，記作 a+b，即 a+b AB BC AC? ? ? 特殊情況：ababa + bbaa + b( 1 )平行四邊形法則三角形法則CBDCBAA aab bba ? ba ?A AB BC C)2( )3( 對(duì)于零向量與任一向量 a，有 a 00? ? ? a ? a （ 2）法則： ____三角形法則 _______， _____平行四邊形法則 ______ （ 3）運(yùn)算律： ____ a+b=b+a； _______， ____（ a+b） +c=a+（ b+c） ._______ ： （ 1）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法 . 已知向量 a、 b，求作向量 ∵ (a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 減法的三角形法則 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn) O， 作 OA = a, OB = b, 則 BA = a ? b 即 a ? b 可以表示為從向量 b 的終點(diǎn)指向向量 a 的終點(diǎn)的向量 奎屯王新敞 新疆 注意： 1) AB 表示 a ? b 奎屯王新敞 新疆強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) 2) 用“相反向量”定義法作差向量， a ? b = a + (?b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一 奎屯王新敞 新疆 a∥ b∥ c a ? b = a + (?b) a ? b a?b A A B B B’ O a?b a a b b O A O B a?b a?b B A O ?b 用心 愛心 專心 （ 2）法則： ____三角形法則 _______ ： （ 1）定義：實(shí)數(shù) λ 與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作 λ a，規(guī)定： |λ a|=|λ ||a|.當(dāng) λ ＞ 0時(shí)， λ a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng) λ ＜ 0 時(shí)， λ a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng) λ =0 時(shí)， λ a與 a 平行 . （ 2）運(yùn)算律： λ （ μ a） =（ λμ ） a， （ λ +μ ） a=λ a+μ a， λ （ a+b） =λ a+λ b. 特別提醒： 1) 向量的加、減及其與實(shí)數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。 2) 重要定理： 向量共線定理：向量 b與非零向量 a 共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) λ ，使得 b=λ a，即 b∥ a? b=λ a（ a≠ 0） . ★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★ ： 理解向量及與向量相關(guān)的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會(huì)正確運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則． ： 掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量化簡(jiǎn)與計(jì)算． ： . 問題 1: 相等向量與平行向量的區(qū)別 答案：向量平行是向量相等的必要條件。 問題 3： 對(duì)于兩個(gè)向量平行的充要條件： a∥ b? a=λ b，只有 b≠ 0 才是正確的 .而當(dāng) b=0時(shí)， a∥ b是 a=λ b 的必要不充分條件 . 問題 4； 向量與有向線段的區(qū)別： （ 1）向量是自由向量，只有大小和方向 兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量； （ 2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不 同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段 ★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析 ★ 考點(diǎn)一： 向量及與向量相關(guān)的基本概念 題型 1. 概念判析 [例 1]判斷下列各命題是否正確 (1)零向量沒有方向 (2)若 baba ?? 則, (3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段 用心 愛心 專心 (5)兩相等向量若共起點(diǎn) ,則終點(diǎn)也相同 (6)若 ba ??? ， cb ??? ，則 ca ??? ； (7)若 ba ??// ， cb??// ，則 ca??// (8)若四邊形 ABCD 是平行四邊形 ,則DABCCDB ?? ,A (9) ba ??? 的充要條件是 |||| ba ??? 且 ba ??// ； [解題思路 ]： 正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明。 (8) 不正確 , 如圖 DABCCDB ?? ,A （ 9）不正確，當(dāng) ba ??// ，且方向相反時(shí)，即使 |||| ba ??? ，也不能得到 ba ??? ； 【名師指引】 對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題。 解法一（統(tǒng)一成加法） )()( BDACCDAB ??? = BDCADCABBDACCDAB ??????? = 0???? CADCBDAB 解法二（利用 BAOBOA ?? ） )()( BDACCDAB ??? = BDACCDAB ??? = BDCDACAB ??? )( = 0????? BDDBBDCDCB 解法三（利用 OAOBAB ?? ） 設(shè) O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則 )()( BDACCDAB ??? = BDACCDAB ??? = )()()()( OBODOAOCOCODOAOB ??????? = 0???????? OBODOAOCOCODOAOB 【名師指引】掌握向量加減的定義及 向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識(shí)．在求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)律． 題型 2: 結(jié)合圖型考查向量加、減法 [例 3] (2022178。②得３ ｍ －９ ｎ ＝３ ｂ ③ ①－③得 11ｎ ＝ ａ －３ ｂ . ∴ ｎ ＝ 111 ａ － 113 ｂ ④ 將④代入②有： ｍ ＝ ｂ ＋３ ｎ ＝ 113 ａ ＋ 112 ｂ 4． 如圖，在Δ ABC中， D、 E為邊 AB 的兩個(gè)三等分點(diǎn)， CA→ =3a， CB→ =2b，求 CD→ ， CE→ ． 解析： AB→ =AC→ +CB→ = － 3a+2b， 因 D、 E為 AB→ 的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 故 AD→ =31 AB→ =－ a＋ 32 b =DE→ ， CD→ =CA→ ＋ AD→ =3a－ a＋ 32 b =2a＋ 32 b， CE→ =CD→ ＋ DE→ =2a＋ 32 b－ a＋ 32 b=a＋ 34 b． 考點(diǎn)三 : 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 題型 1: 三點(diǎn)共線問題 [例 4] 設(shè) 21,ee 是不共線的向量 ,已知向量 212121 2,3,2 eeCDeeCBekeAB ?????? ,若A,B,D三點(diǎn)共線 ,求 k的值 A B C D E B C A P 512 用心 愛心 專心 [解題思路 ]： 證明存在實(shí)數(shù) ? ，使得 BDAB ?? 解析： 21 4 eeCBCDBD ???? , 使 BDAB ?? )4(2 2121 eeeke ???? ? 得 84,2 ?????? kk ?? [例 5] 已知 A、 B、 C、 P 為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證： A、 B、 C 三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù) m、 n，使 PC→ =mPA→ +nPB→ ，且 m+n=1． [解題思路 ]： A、 B、 C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條 件是存在 實(shí)數(shù)λ，使得 AC→ =λ AB→ ．很顯然，題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及 AC→ 、 AB→ ，對(duì)此，我們不妨利用 PC→ =PA→ ＋ AC→ 來轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證． 解析： 證明 充分性，由 PC→ =mPA→ ＋ nPB→ ， m＋ n=1， 得 PA→ ＋ AC→ =mPA→ ＋ n（ PA→ ＋ AB→ ） =（ m＋ n） PA→ ＋ nAB→ =PA→ ＋ nAB→ ， ∴ AC→ =nAB→ ． ∴ A、 B、 C三點(diǎn)共線． 必要性 :由 A、 B、 C 三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)λ，使得 AC→ =λ AB→ ， 即 AP→ +PC→ =λ（ AP→ +PB→ ）． PC→ =（λ－ 1） AP→ ＋λ PB→ =（ 1－λ） PA→ ＋λ PB→ ， m=1－λ， n=λ， m＋ n=1， PC→ =mPA→ ＋ nPB→ ． 【名師指引】 逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡(jiǎn)便，值得一提的是，一個(gè)向量拆成兩個(gè)向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí)． 這是一個(gè)重要結(jié)論，要牢記。 解析： 證明：∵ E是對(duì)角線 AC和 BD的交點(diǎn) ∴ AE =EC =?CE ,BE =ED =?DE 在△ OAE中， OA +AE =OE 同理 OB + BE = OE ， OC + CE = OE ，OD +DE =OE 以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE 【名師指引】 用向量法解平面幾何問題，實(shí)質(zhì)上是將平面幾何問題的代數(shù)化處理，在解題中應(yīng)注意進(jìn)行向量語言與圖形語言的互譯 奎屯王新敞 新疆 【新題導(dǎo)練】 5．已知 a 、 b 是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同， a 、 21 b 、 t（ a +b ）三向量的終點(diǎn)在一直線上，則實(shí)數(shù) t=_________. 【 解析 】如圖 , ∵ a 、 21 b 、 t（ a +b ）三向量的終點(diǎn)在一直線上 , ∴存在 實(shí)數(shù) ? 使 :t（ a +b ） — 21 b =? （ a — 21 b ） 得（ t— ? ） a =（ 21 — 21 ? — t） b 又∵ a 、 b 不共線，∴ t— ? =0且 21 — 21 ? — t=0 解得 t=31 6．向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 證：如圖：∵ OCDOOBAOAB ???? DC , 又由已 知 OBOCAO ?? DO , ∴ DCAB? ，故 AB與 DC 平行且相等，所以 ABCD是平行四邊形。 （ ） （ 2）所有的單位向量都相等。 （ ） （ 4）向量 ?? ba與 共線，則 ??b//a （ ） （ 5）向量 ?? CD//AB ，則 CD//AB 。 （ ） 解：（ 1）錯(cuò)。 （ 2）錯(cuò)。 （ 3）錯(cuò)。（想一想：你能舉出反例嗎？又若 ???0b 時(shí)，此結(jié)論成立嗎？） （ 4）對(duì)。 （ 5）錯(cuò)。 （ 6）錯(cuò)。 2. (四川省成都市一診 )在四邊形 ABCD中，“ AB→ ＝ 2DC→ ”是“四邊形 ABCD為梯形”的 A、 充分不必要條件 B、 必要不充分條件 C、 充要條件 D、 既不充分也不必要條件 答案： A 2AB DC? ? 四邊形 ABCD為梯形，但反之不成立 .選 A 3．已知向量 1211 2b ,a , ,0 lllRl ??????? ????? ?? ，若向量 ba ??和 共線，則下列關(guān)系一定成立的是（ ） A、 0?? B、 02 ???l C、 12 // ll D、 02 ???l 或 0?? 答案： D 提示：考慮情況要充分。 5．已知： 212121 2CD ,BC ),(3 eeeeeeAB ?????? ，則下列關(guān)系一定成立的是（ ） A、 A， B， C三點(diǎn)共線 B、 A， B， D三點(diǎn)共線 C、 C， A， D三點(diǎn)共線 D、 B， C， D三點(diǎn)共線 用心 愛心 專心 A B C D 答案： C 解析： 2AC CD? ，所以 C， A， D三點(diǎn)共線 6．（ 廣東北江中學(xué) 2022高三統(tǒng)測(cè)） 若 | | | |OA OB OA OB? ? ?則向量 ,OA OB 的關(guān)系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．不確定 答案： C 提示： | | | |O A O B O A O B??與 分別表 示平行四邊形的兩條對(duì)角線，它們相等，即說明四邊形 ABCD為矩形。 答案： 2121ee ? 提示：（ a? +b? ） +（ a? b? ） = 21 3ee ?? ? + 21 2ee ?? ? = 122ee? 所以 a? = 2121ee ? 9．已知 21221 3)12(,)1( eetbeketa ?????? ，且 ba// ，試求 t關(guān)于 k的函數(shù)。 求證： 17371 ?? ??。 （ 2）證明：∵ abaOAbaOEOMEM ?? ???????? 73717