【正文】 ? ?,ab 上連續(xù)，在 (, )ab 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，( ) ( ) , ( ) ( )f a g a f b g b??，證明：存在 ( , )ab?? ，使得 ( ) ( )fg???? ??? . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 29 （ 22 ） ( 本題滿分 11 分 ) 設(shè)二元函數(shù)222, | | | | 11( , ) , 1 | | | | 2x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ??，計(jì)算二重積分D ( , )df x y ???，其中 ? ?? ?, | | | | 2D x y x y? ? ?. （ 23） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 321 2 302040x x xx x axx x a x? ? ? ??? ? ??? ? ? ??與方程 1 2 321x x x a? ? ? ?有公共解，求 a 的值及所有公共解 . （ 24） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)三階對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的特征向量值 1 2 31, 2 , 2? ? ?? ? ? ?， T1 (1, 1,1)? ?? 是 A 的屬于 1? 的一個(gè)特征向量，記 534B A A E? ? ?，其中 E 為 3 階單位矩陣 . （ I） 驗(yàn)證 1? 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量； 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 30 （ II） 求矩陣 B . 2022 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題 一、 填空題 ： 1－ 6 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 . （ 1）曲線 4 sin5 2 cosxxy ?? ? 的水平漸近線方程為 （ 2） 設(shè)函數(shù) 23 01 si n d , 0(),0x t t xfx xax? ??? ?????　 　 　 　 在 0x? 處連續(xù)，則 a? . （ 3）廣義積分220 d(1 )xxx?? ??? . （ 4） 微分方程 (1 )yxy x??? 的通解是 （ 5）設(shè)函數(shù) ()y yx? 由方程 1eyyx?? 確定，則 0dd xyx ? ? （ 6） 設(shè)矩陣 2112A ????????， E 為 2 階單位矩陣，矩陣 B 滿足 2BA B E?? ，則 ?B . 二、選擇題： 7－ 14 小題，每小題 4 分， 共 32 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) . （ 7） 設(shè)函數(shù) ()y f x? 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ( ) 0, ( ) 0f x f x? ????， x? 為自變量 x 在點(diǎn) 0x 處的增量， dyy?與分別為 ()fx在點(diǎn) 0x 處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若 0x?? ，則 [ ] (A) 0dyy? ?? . (B) 0dyy?? ? . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 31 (C) d0yy? ? ? . (D) d0yy?? ? . （ 8） 設(shè) ()fx是奇函數(shù)，除 0x? 外處處連續(xù)， 0x? 是其第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則0 ( )dx f t t?是 （ A）連續(xù)的奇函數(shù) . （ B）連續(xù)的偶函數(shù) （ C）在 0x? 間斷的奇函數(shù) （ D）在 0x? 間斷的偶函數(shù) . [ ] （ 9） 設(shè) 函數(shù) ()gx 可微， 1 ( )( ) e , (1 ) 1 , (1 ) 2gxh x h g? ??? ? ?，則 (1)g 等于 （ A） ln3 1? . （ B） ln3 1.?? （ C） ln2 1.?? （ D） ln2 1.? [ ] （ 10） 函數(shù) 212e e ex x xy C C x?? ? ?滿足的一個(gè)微分方程是 （ A） 2 3 e .xy y y x?? ?? ? ? （ B） 2 3e .xy y y?? ?? ? ? （ C） 2 3 e .xy y y x?? ?? ? ? （ D） 2 3e .xy y y?? ?? ? ? [ ] （ 11） 設(shè) ( , )f xy 為連續(xù)函數(shù)，則 1400d ( c o s , si n ) df r r r r? ? ? ??? 等于 （Ａ） 22 120 d ( , )dxxx f x y y??? . （ B） 22 1200d ( , )dxx f x y y??? . (C) 22 120 d ( , )dyyy f x y x??? . (D) 22 1200d ( , )dyy f x y x??? . [ ] （ 12） 設(shè) ( , ) ( , )f x y x y?與 均為可微函數(shù)，且 ( , ) 0y xy?? ? ，已知 00( , )xy 是 ( , )f xy 在約束條件( , ) 0xy? ? 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是 [ ] (A) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (B) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (C) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (D) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . （ 13） 設(shè) 12, , , s? ? ? 均為 n 維列向量， A 為 mn? 矩陣 ，下列選項(xiàng)正確的是 [ ] 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 32 (A) 若 12, , , s? ? ? 線性相關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關(guān) . (B) 若 12, , , s? ? ? 線性相關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性無(wú)關(guān) . (C) 若 12, , , s? ? ? 線性無(wú)關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關(guān) . (D) 若 12, , , s? ? ? 線性無(wú)關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性無(wú)關(guān) . （ 14）設(shè) A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再將 B 的第 1 列的 1? 倍加到第 2 列得 C ，記1 1 00 1 00 0 1P???????，則 （Ａ） 1C P AP?? . （Ｂ） 1C PAP?? . （Ｃ） TC P AP? . （Ｄ） TC PAP? . ［ ］ 三 、解答題： 15－ 23 小題，共 94 分 .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 10 分） 試確定 ,ABC 的值，使得 23e (1 ) 1 ( )x B x Cx A x o x? ? ? ? ?，其中 3()ox 是當(dāng) 0x? 時(shí)比 3x 高階的無(wú)窮小 . （ 16）（本題滿分 10 分） 求 arcsine de xx x?. 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 33 （ 17）（本題滿分 10 分） 設(shè)區(qū)域 ? ?22( , ) 1 , 0D x y x y x? ? ? ?， 計(jì)算二 重積分221 xy xyxy????? （ 18）（本題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列 ??nx 滿足 110 , si n ( 1 , 2 , )nnx x x n? ?? ? ? ? （ Ⅰ ）證明 limnn x??存在，并求該極限；（ Ⅱ ）計(jì)算 211lim nxnn nxx?????????. （ 19）（本題滿分 10 分） 證明：當(dāng) 0 ab?? ? ? 時(shí)， si n 2 c os si n 2 c osb b b b a a a a??? ? ? ? ?. （ 20）（本題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) ()fu 在 (0, )?? 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ? ?22z f x y??滿足等式 220zzxy????. 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 34 （ I）驗(yàn)證 ()( ) 0fufu u??? ??； （ II）若 (1) 0, (1) 1ff???，求函數(shù) ()fu 的表達(dá)式 . （ 21）（本題滿分 12 分） 已知曲線 L 的方程 221,( 0 )4xt ty t t? ?? ?? ???（ I）討論 L 的凹凸性；（ II）過(guò)點(diǎn) ( 1,0)? 引 L 的切線，求切點(diǎn)00( , )xy ，并寫(xiě)出切線的方程；（ III）求此切線與 L（對(duì)應(yīng)于 0xx? 的部分）及 x 軸所圍成的平面圖形的面積 . （ 22）（本題滿分 9 分） 已知非齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 414 3 5 131x x x xx x x xax x x bx? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??有 3 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 .（ Ⅰ ）證明方程組系數(shù)矩陣 A 的秩? ? 2rA? ；（ Ⅱ ）求 ,ab的值及方程組的通解 . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 35 （ 23）（本題滿分 9 分） 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的各行元素之和均為 3,向量 ? ? ? ?TT121 , 2 , 1 , 0 , 1 , 1??? ? ? ? ?是線性方程組0Ax? 的兩個(gè)解 . (Ⅰ ) 求 A 的特征值與特征向量； (Ⅱ ) 求正交矩陣 Q 和對(duì)角矩陣 ? ,使得 TQ AQ?? . 2022 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)二試題 二、 填空題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上） （ 1） 設(shè) xxy )sin1( ?? ，則??xdy = . （ 2） 曲線xxy 23)1( ?? 的斜漸近線方程為 . （ 3） ????10 22 1)2( xx xdx . （ 4） 微分方程 xxyyx ln2 ??? 滿足 91)1( ??y 的解為 . （ 5） 當(dāng) 0?x 時(shí)， 2)( kxx ?? 與 xxxx c o sa r c s in1)( ???? 是等價(jià)無(wú)窮小，則 k= . （ 6） 設(shè) 321 , ??? 均為 3 維列向量，記矩陣 ),( 321 ????A ， )93,42,( 321321321 ????????? ???????B ， 如果 1?A ，那么 ?B . 二、選擇題 （本題共 8 小題，每小 題 4 分，滿分 32 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （ 7） 設(shè)函數(shù) n nn xxf 31lim)( ?? ??，則 f(x)在 ),( ???? 內(nèi) (A) 處處可導(dǎo) . (B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 36 (C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) . [ ] （ 8） 設(shè) F(x)是連續(xù)函數(shù) f(x)的一個(gè)原函數(shù)， NM? 表示 “M 的充分必要條件是 N”，則必有 (A) F(x)是偶函數(shù) ? f(x)是奇函數(shù) . （ B） F(x)是奇函數(shù) ? f(x)是偶函數(shù) . (C) F(x)是周期函數(shù) ? f(x)是周期函數(shù) . (D) F(x)是單調(diào)函數(shù) ? f(x)是單調(diào)函數(shù) . [ ] （ 9） 設(shè)函數(shù) y=y(x)由參數(shù)方程??? ?? ?? )1ln( ,22 ty ttx 確定，