【正文】 x b??21()()( , ) ( , )bxaxD f x y d x d y d x f x y d y????? ? ?? ?積分后先對 xyx0? ?? ?xyDxy21????y ba設(shè) D（ Y型）： 則 ? ? ? ?12y x y???? c y d??21()()( , ) ( , )dycyD f x y d x d y d y f x y d x????? ? ?? ?積分后先對 yx1()xy??2()xy??yxODdc 若 D不是 X型（或 Y型），則將 D分為幾個 區(qū)域，使它們?yōu)?X型（或 Y型），幾個區(qū)域上 的積分之和就是所給二重積分的值。多元函數(shù)積分學(xué) 考研輔導(dǎo) 多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函 數(shù)在不同幾何形體上的積分。 定積分 （一元函數(shù)在區(qū)間 上的積分） 可推廣為： 曲線積分 （多元函數(shù)在曲線上的積分） 曲面積分 （多元函數(shù)在曲面上的積分） n重積分 （ n元函數(shù)在 n維空間中的區(qū)域上的 積分） ? ?ba,幾種幾何形體上的積分： D 閉區(qū)間 [a,b] L ?（平面區(qū)域） （平面曲線） （曲面） ??（空間區(qū)域） （空間曲線） 如果 存在， 則稱這個極限為函數(shù) 在幾何形體 G上的積 分 ,記為 即 ? ?01l i m m a x { }ni i iiif p g g??? ?? ? ?? （ ）()fp? ?Gf p dg?? ? ? ?01l i mniiiGf p d g f p g? ? ????? 為了便于今后討論，當(dāng) G為不同的幾何形 體時，對應(yīng)的積分都給出了固定的名稱和符 號 ? 當(dāng) G為平面有界閉區(qū)域（常記為 D）時，稱 為 二重積分 ， 記為 ? 當(dāng) G為空間有界閉區(qū)域（常記為 ）時，稱 為 三重積分 ， 記為 ??Ddyxf ?),(( , , )f x y z d v????? 當(dāng) G為平面有限曲線段（常記為 L）或空間有限曲線段（常記為 ）時，稱為 第一型曲線積分 （ 也稱為 對弧長的曲線積分 ）， 記為 ? 當(dāng) G為空間有限曲面片（常記為 ∑）時，稱為 第一型曲面積分 （ 也稱為 對面積的曲面積分 ）， 記為 ??Ldsyxf ),( ??dszyxf ),(( , , )f x y z d S???? 與定積分類似，當(dāng) 在 G上連續(xù)時， 積分 必定存在。 問題 : ? 選擇積分次序 ? 交換積分次序 例 1 求 解 X型 若 Y型 則積分較繁。 分析 若先 后 積分， 無法積分。為此，應(yīng)根據(jù)定限的方法先將題中所給 的積分限還原成平面區(qū)域 D，然后再按 Y型域重新 確立積分限，得到二次積分 . 1 2 20 0 1 0( , ) ( , )xxdx f x y dy dx f x y dy??? ? ? ?解 將所給積分限還原成 D的圖形，由 其中 知 D是由 y=x， y=2－ x， y=0三條直線所圍成， 于是按 y型域定限 得 12D D D??1 : 0 , 0 1D y x x? ? ? ?2 : 0 2 , 1 2D y x x? ? ? ? ?: 2 , 0 1D y x y y? ? ? ? ?1 2 20 0 1 0120( , ) ( , )( , )xxyyd x f x y d y d x f x y d yd y f x y d x????? ? ? ???2012DD11xy例 4 設(shè) 在 上連續(xù)，證明 證 由等式左邊，得 改變積分順序，得 所以， 左邊 右邊 0 0 0( ) ( ) ( )c y cd y f x d x c x f x d x??? ? ?? ?fx ? ?0,c: 0 , 0D x y y c? ? ? ?00 ( ) ( ) ( )c c cxdx f x dy c x f x dx? ? ? ?? ? ?: , 0D x y c x c? ? ? ?(二 )極坐標(biāo)計算二重積分 極坐標(biāo)是由極點(diǎn)和極軸組成，坐標(biāo) ，其 中 r為點(diǎn) p到極點(diǎn) o的距離， 為 or到 op的夾角。 解 利用 把積分區(qū)域的邊界曲線化為極 坐標(biāo)形式： 1r?1sin c osr ??? ?xy11? ? 2, , : 1 1 , 0 1Df x y d D x y x x? ? ? ? ? ? ???c o ss inxryr????? ??11,sin c o srr ???? ?? ? ? ?1210s in c o s1: 1 , 0s in c o s 2, c o s , s inDDrf x y d d f r r r d r???????? ? ? ??? ? ? ????? ? ?例 6 計算 ，其中 D是以原點(diǎn)為圓 心，半徑為 的圓域。 2 39。其方法都是將三重積分化為三次積分。 21( , )( , )( , , ) [ ( , , ) ]z x yz x yDf x y z d v f x y z d z d x d y? ???? ?? ?:?Oxyzab ( , )xy1()y y x? 2()y y x?D1z2z1S2S1( , )z z x y?2 ( , )z z x y?例如 D為 X型域，則有 這是先對 z，次對 y，最后對 x的三次積分。 ??ZDZD? ?12,cc1c 2cxyzO?zDz1c2c 先在 D上對 x， y積分然后在 上對 z積分。 ? ?12,cc21( , , ) ( , , )zcc Df x y z d v d z f x y z d x d y????? ? ??ZD二 .用柱面坐標(biāo)計算三重積分 設(shè) 為空間一點(diǎn)， 如果將 改用另外三個 數(shù) 來表示，則稱 為點(diǎn) M的 柱面坐標(biāo) 。則稱 為點(diǎn) M的球面坐標(biāo) 。 ? ?第一型曲線積分的計算法 第一型曲線積分 或 也稱 為 對弧長的曲線積分 ， 它可以化為定積 分來計算。 2 39。 2 39。2( , ) [ , ) ] 1 ( )baLf x y d s f x y x y x d x????如果 L由 給出， 則可將 y看作參數(shù)，同理可得 ( ) ( )x x y c y d? ? ? ? ? 39。 設(shè)空間有限光滑曲線段 的 參數(shù)式為 ?()()()xtytz