[理學(xué)]概率論與數(shù)率統(tǒng)計(jì)第4章-在線瀏覽
2024-12-06 00:45本頁面
【正文】 EX = ( —— ) + —— = — 。 □ 1 5 6 6 400 500 50 6 6 3 例 假定乘客在公交車站等車的時(shí)間 X (分鐘 ) 服從參數(shù) 5 的指數(shù)分布， f (x) = e x ， x ＞ 0 問這個(gè)人的平均等車時(shí)間是幾分鐘？ 解 . 平均等車時(shí)間即是數(shù)學(xué)期望 EX ， yy e d y055??????0. 20( ) xEX xf x dx xe dx? ? ? ????????□ 即平均需要等待 5 分鐘。 解 Xk(k=1,2)的分布函數(shù)為 22m in1 , 0( ) 1 [ 1 ( ) ]0 , 0xexF x F x x???? ??? ? ? ??? ??1 , 0()0 , 0xexFx x??????? ?? ??2min2,0()0 , 0xexfx x??????? ?? ??N的分布函數(shù)為 兩個(gè)隨機(jī)變量中較小者的分布函數(shù)公式 N的概率密度函數(shù)為 m in20( ) ( )2/2xE N xf x dx xe dx? ??????? ??????例 按規(guī)定，某車站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一輛車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。 解 設(shè)旅客的候車時(shí)間為 X，則 X的分布率為 X 10 30 50 70 90 Pk 3/6 2/6 1/6 1/6 1/6 3/6 1/6 2/6 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)車 8:30到 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)車 8:10到，而且第二個(gè)車 9:10到 E(X) =10 3/6 + 30 2/6 + 50 1/36 + 70 3/36 + 90 2/36= (1) 離散隨機(jī)變量 X 具有分布律： P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 ， 則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是： EY = E[g(X)] = ∑k≥ 1 [ g(xk) pk ] (2) 連續(xù)隨機(jī)變量 X 具有密度函數(shù) f(x) ， 則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是： EY = E[g(X)] = ( ) ( )g x f x dx?????證明見教材 (3) 連續(xù)隨機(jī)向量 (X， Y) 具有聯(lián)合 密度函數(shù) f(x,y) ， 則隨機(jī)變量 Z = g(X， Y) 的數(shù)學(xué)期望是 EZ = E[ g(X， Y)] ( , ) ( , )g x y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ??例 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 3211, , 12( , )0,y x xx y xf x y ? ? ? ?????? 其 它求數(shù)學(xué)期望 E(Y), E(1/XY), 解：在上面的公式中令 g(x,y)=y得 1321131312121231( ) ( , )323[ ln ] |2ln33ln23 ln 3 1[ ] |2234xxxxE Y y f x y d x d y y dy dxxy y dxxx dxx x dxx = dxxx =??? ? ? ?????????????????????????11( ) ( , )35E f x y d x d yXY x y ??? ? ? ?????例 某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場(chǎng)，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量，他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品可獲利 m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致 n元損失，再者他們預(yù)測(cè)銷量 Y(件 )服從指數(shù)分布，其概率，密度為 11 , 0()0 , 0yeyfy y???????? ?? ??問若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 解 設(shè)生產(chǎn) x件，則獲利 Q是 x的函數(shù)： 00000( ) ( )11[ ( ) ]1[ ( ) ]1[ ( ) ] | [ ( ) ]Yyyxxyyxxy y yxxx E Q Q f y dy m y n x y e dy m x e dy m y n x y de m x e dy m y n x y e e d m y n x y m x e dy = m x????? ? ?????????????????? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????????01()( ) ( )x y yxxxe n x m n e d y m x e dy m n m n e n x? ? ???????? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???( ) ,(),m Y n x Y x YQxm x x Y? ? ???? ??Q也是隨機(jī)變量 Y的函數(shù)： l n ( )nxmn????( ) ( ) 0xdE Q m n e ndx??? ? ? ? 數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì) 即，設(shè) a、 b 是兩個(gè)常數(shù)，則有： E(a + bX) = a + b EX ； 1. 線性變換的期望等于期望的線性變換 2. 和的期望等于期望的和 (不需要任何條件 ) 對(duì)任意 n 個(gè)隨機(jī)變量 X … 、 Xn， 都有： E(X1+X2+ …+ Xn) = EX1 + EX2 + … + EXn 3. 獨(dú)立 乘積的期望等于期望的乘積 如果 X X … 、 Xn 相互獨(dú)立 ，則有： E(X1 X2 … Xn) = EX1 EX2 … EXn 例 設(shè)一民航送客車載有 20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有是個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以 X表示停車的次數(shù)，求 E(X)（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的并設(shè)個(gè)旅客是否下車相互獨(dú)立）。 方差平方根 (DX )1/2稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差 方差是一個(gè)隨機(jī)變量在它的數(shù)學(xué)期望 附近取值的分散程度，方差越小說明這個(gè) 隨機(jī)變量取值越集中于期望。 (1) 按照表達(dá)式方差是一種特殊的隨機(jī)變量 函數(shù)的期望： DX = E(X EX)2 (2) 常用公式： DX = E(X2 – 2XEX+(EX)2)=E(X2) 2(EX)2 + (EX)2 = E(X2) (EX)2 2. 期望與方差的概率意義 方差越小理解成隨機(jī)變量的隨機(jī)性越弱。 理論上可以證明， 隨機(jī)變量 X 的方差為 0 的充分必要條件是， 這個(gè)隨機(jī)變量取值為一個(gè)常數(shù)的概率是 1 。 □ 成績(jī) (環(huán)數(shù) ) 8 9 10 甲的概率 丙的概率 練習(xí) 續(xù)例 ，甲乙射擊技術(shù)如下： 需要
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