【正文】 元方法也可以求解，而有限元就不可以了，所以這種方法可以求解 無限域內(nèi)的一些問題。 有優(yōu)點也會有缺點，邊界元方法在求解問題時需要知道基本解，也需要建立 Green函數(shù)并且一些問題的基本解釋不知道的，如非線性問題，因此，邊界元方法不能求解。被廣泛應(yīng)用到了許多領(lǐng)域。常規(guī)邊界元的弱點更為明顯，舉例如下：邊界元方法求解問題時，所需要求解的代數(shù)方程是滿陣，而且是非對稱的，對于 1000 個邊界點的二維問題，大概需要計算 2021 個自由度，這樣對應(yīng)的系數(shù)矩陣就有 20210000個元素，其中元素是雙精度的，因此，每個系數(shù)矩陣占有 800M 的儲存空間。 總體來開，邊界元有優(yōu)點也有缺點，而且相對于有限元來說，在實際應(yīng)用中也發(fā)揮自己的優(yōu)勢。 邊界元法的發(fā)展可分如下幾個時期： 萌芽與奠基期 ( 1950— 1978 ) 50 年代初期， MuskhelishVili ( 1953 )將積分方程的方法用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析，Kellogg ( 1953 )用積分方程的方法求解 Laplace 的問題，這便是邊界元方法的前身。關(guān)于間接邊界元法的概念是 Jaswon， Hess 和 Symm 等研究形成的。 在這一時期， Richard Shaw 對波的傳播問題的邊界積分方程方法進行了廣泛的研究。除此之外，他還對彈性動力學(xué)的間接邊界積分公式、特征值問題、流固藕合問題、三維散射問題、漸近膨脹解和擴散問題等進行了研究。同年， Jaswon 對 Laplace 方程由勢理論建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻。 1966 年， Symm 建立了保角映射下的邊界積分方程。 1967 年， Rizzo 運用了 BettiSomighana 公式建立彈性靜力學(xué)問題的邊界積分公式，指出了邊界位移和面 力的函數(shù)關(guān)系，這是文獻中最早的一篇關(guān)于直接邊界元方法的論文。 1967 年， Cruse 完成了直接邊界元方法若干重要問題的推導(dǎo)，隨后， Cruse 與 Rizzo和 Shippy 配合，對這些邊界積分公式進行了數(shù)值求解，相繼提出了直接邊界元法的若干重要論文。 Symm 在 70 年代對二維勢問題的邊界積分方程中的積分奇異性問題進行了研究，并發(fā)展了計算軟件。 1975 年， Lachat完成了他的博士論文，第一次使用高次單元求解三維彈性靜力學(xué)問題，徹底解決了邊界積分方程中的奇異積分問題，大大提高了計算精度，為邊界元法的發(fā)展作出了非常重要的貢獻。 Cruse 還討論了由邊界面力獲得表面應(yīng)力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學(xué)問題以及對特殊形狀的裂紋采用特殊的應(yīng)力函數(shù)等。 1976 年， Crouch建議用位移不連續(xù)法 (Displacement Discontinuity Method， )中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 3 頁 求解平面彈性問題，這是一種間接邊界元法，它以單元均勻位移 (不連續(xù)位移分量 )為未知數(shù)，可以很便利地求解巖石力學(xué)問題，因而， Crouch 被公認為是間接邊界元法的開創(chuàng)者。同年， Symm 將直接邊界元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì) 問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻。 DDM 和 FSM 均可用于模擬裂縫或夾層，兩種方法實質(zhì)上相同，但 DDM法更適合于裂隙、斷層的模擬。 1977 年， Brebbia 和Banerjee 重新使用了邊界元法這個名稱，邊界元法從此有了明確的定義。 方法完善與初步應(yīng)用期 ( 1978— 1990 ) 1978 年，第一屆邊界元法國際會議在英國南安普敦 ( Southampton ) 大學(xué)舉行。大量論文和專著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。從這些會議文集和 各種刊物，如《 Engineering Analysis Journal》、《 Compute rand Struetures》、《 of Numerieal Methods in Engineering》、《 Computational Mechanies))和《 Computer Methods in App1ied Mechanics and Engineering》等登載的論文以及Brebbia 和 Banerjee 等人的專著來看，這一時期邊界元法的發(fā)展可歸結(jié)為以下三個方面： 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域 : 雖然邊界元法的發(fā)展是由計算機的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用帶來的，但也與近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展關(guān)系密切。 Wendiand 是研究邊界元法數(shù)學(xué)理論的主要學(xué)者，其主要工作有：數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元和邊界元耦合方法的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學(xué)和流體流動問題邊界元法的數(shù)學(xué)理論，斷裂力學(xué)邊界元法的誤差分析等。近年來，一些學(xué)者將有限元理論中的區(qū)域分解方法引入邊界元法，討論了其數(shù)學(xué)理論。 在方法與應(yīng)用領(lǐng)域 : 70 年代以前，邊界元法的研究僅僅限于解決以下幾個方面的問題：流體力學(xué)、彈性靜力學(xué)、板彎曲問題、波的傳播、勢問題、斷裂力學(xué)等，而且對于一些問題的研究也只是初步的嘗試。對于線性問題，邊界元法的應(yīng)用己經(jīng)規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。 邊界元法在非線性問題方面的研究與應(yīng)用已經(jīng)涉及：非彈性力學(xué) (包括塑性、彈粘塑性、彈塑性、蠕變等 )、非彈性動力學(xué)、非彈性斷裂動力學(xué) 、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性殼體分析、非線性勢問題、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、含時間的非線性勢問題、非線性瞬態(tài)熱分析、材料非線性熱分析、非線性板殼分析、巖土力學(xué)、非線性瞬態(tài)波的傳插、非彈性有限變形等。目前，邊界元與有限元耦合方法的研究和應(yīng)用主要涉及以下幾個方面：非線性問題、斷裂力學(xué)；彈塑性力學(xué)、巖土力學(xué)、勢問題、流固禍合問題、彈性力學(xué)、土動力學(xué)、熱分析、電力工程等。 在應(yīng)用軟件領(lǐng)域 : 邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應(yīng)用要通過計算程序來實現(xiàn)。 Brebbia 在邊界元法的第一本專著中就附有簡單的計算程序，這個程序為其后許多計算程序的研制建立了模式，為邊界元法應(yīng)用軟件的發(fā)展和邊界元法的應(yīng)用都起到了良好的推動作用。 1982 年，在第四屆邊界元法國際會議上，英國南安普敦大學(xué)的 Danson 介紹了他們研制的邊界元分析程序包 BEASY，這是國際上第一個邊界元法大型軟件。但是，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，計算機軟件已成為商品，稍稍復(fù)雜一點的計算程序都不會無償?shù)卦谖墨I中發(fā)表。 1988 年， Maekerle 和 Brebbia 在文獻中從軟件的來源、類型、應(yīng)用范圍、前后處中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 5 頁 理、元素庫、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準備等多方面對 135 個邊界元法應(yīng)用軟件進行了歸納?？梢钥闯?，這一時期邊界元法應(yīng)用軟件的發(fā)展取得了一定的成績，但與應(yīng)用于各個領(lǐng)域的邊界元法本身的發(fā)展及計算機軟件技術(shù)的發(fā)展尚有一定距離。其中， BEASY 在當今邊界元應(yīng)用軟件市場可謂獨占鰲頭，在英國、美國、法國和日本等國的大學(xué)、研究所和公司得到了一定的應(yīng)用。要想使邊界元法象有限元法那樣得到廣泛應(yīng)用，還必須發(fā)展各種各樣的高質(zhì)量的通用程序包。 （ 2）方法與應(yīng)用的開拓 隨著邊界元研究的深入，解決各種非線性問題的邊界元法己有不同程度地發(fā)展和完善，邊界元法的應(yīng)用范圍進一步拓寬。預(yù)計不久的將來，邊界元法的應(yīng)用將與有限元法互為補充。 我國邊界元法研究概況 我國的邊界元法研究起步于 20 世紀 70 年代末期，清華大學(xué)的杜慶華在推動我國的邊界元法研究方面起了重要作用。前 6 次依次在重慶、南寧、武漢、南京、北京、重慶舉行，第 7 次于 2021 年在秦皇島和全球華人邊界元和無網(wǎng)格法學(xué)術(shù)討論會共同舉行，第 8 次于 2021 年在合肥與亞太國際工程數(shù)值方法學(xué)術(shù)會議共同舉行，第 9 次于 2021年 10 月在南京與亞太國際工程數(shù)值方法學(xué)術(shù)會議共同舉行。舉辦的依次為：日本的輕井澤（ 1987），北京清華大學(xué)（ 1988），日本東京的八王子（ 1990）北京清華大學(xué)（ 1991），日本北海道的札幌 (1992),上海同濟大學(xué)（ 1993），日本九州的福岡（ 1995），北京清華大學(xué)（ 1998）。 20 世紀八九十年代國內(nèi)在邊界元法及其應(yīng)用研究方面成果較 突出的有：清華大學(xué)工程力學(xué)系的杜慶華、姚振漢、岑志章的研究組（固體力學(xué)線性、非淺性問題）；中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 6 頁 西安交通大學(xué)工程力學(xué)系的嵇醒、樓志文等（固體力學(xué)線性、非淺性問題），嵇醒后來轉(zhuǎn)到同濟大學(xué)；上海交通大學(xué)工程力學(xué)系的張永文（斷裂力學(xué)），魯船敬（流體力學(xué)）等，華中理工大學(xué)工程力學(xué)系的黃玉盈（流固耦合）、鐘偉芳（彈性波傳播）等，武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系的馮振興（可動邊界問題）；西北工業(yè)大學(xué)的葉天麒（固體力學(xué)）；中國科技大學(xué)黃茂光的研究組（板殼問題）；合肥工業(yè)大學(xué)土木系王有成的研究組（板殼問題）等。 我國先后出版了多本有關(guān)邊界元法的專著，其中：面向工科專業(yè)的代表性的有杜慶華等 1989 年在高等教育出版社出版的《邊界積分方程 —— 邊界元法的力學(xué)基礎(chǔ)與工程應(yīng)用》，嵇醒等 1997 年在同濟大學(xué)出版社出版的《邊界元法進展及通用程序》等；面向數(shù)學(xué)專業(yè)的有祝家麟 1991 年在科學(xué)出版社出版的《橢圓邊值問題的邊界元分析》，余德浩 1993 年在科學(xué)出版社出版的《自然邊界元方法的數(shù)值理論》等；與工程密切結(jié)合的有申光憲 2021 年在科學(xué)出版社出版的《多極邊界元方法和軋制工程》等。 大陸學(xué)者在邊界元法的工程應(yīng)用方面做出突出貢獻的可以提到：清華大學(xué)張楚漢運用動力邊界元法與斷裂力學(xué)原理提出重力壩地震斷裂與拱壩裂縫擴展模型，在邊坡與地下工程研究方面提出了時域邊界元與離散元耦合模型；太原重機學(xué)院黃慶學(xué)、燕山大學(xué)申光憲等將邊界元法用于延長型軋機軸承壽命研究，取得突出成果。 巖體工程中邊界元的發(fā)展 巖體工程領(lǐng)域遇到的問題比較適合用邊界元的方法，對于一般的巖體工程問題，設(shè)定好邊界條件后就可以用邊界元方法進行解決，但是，一般情況下，普通的邊界元方法只可以解決理想的彈性問題，并且要求巖體的材料是各向同性的，然而，在實際情況下，巖石是不能滿足理想狀態(tài)的，因此，邊界元方法不能廣泛的應(yīng)用于巖石工程領(lǐng)域，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，邊界元方法只是在理論領(lǐng)域有了較大的發(fā)展，而在工程實際應(yīng)用方面相對 落后，即使有研究實際工程問題的文獻，也只是簡單的介紹，所以邊界元的發(fā)展在工程領(lǐng)域較慢。 比如，姚振漢與杜慶華總結(jié)邊界元應(yīng)用在最近發(fā)展的研究中介紹了二維問題含缺陷彈性體移動接觸情況下的邊界元方法，而且簡單介紹了邊界元快速算法，使邊界元在巖石工程領(lǐng)域展示了廣闊的前景，一些學(xué)者研究洞室開挖等實際問題并且編寫相應(yīng)的軟件，也有學(xué)者研究巷道穩(wěn)定性，并進行實際參數(shù)的測定，通過邊界元計算軟件進行計算得出正確的結(jié)論，例如，曾留偉將邊界元方法與電腦計算軟件相結(jié)合，求解了三維狀態(tài)下地下洞室的開挖問題 ，找到了洞室變化的規(guī)律，經(jīng)過總結(jié)并加以整理得出了洞室圍巖的穩(wěn)定性。 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 7 頁 雖然，邊界元方法在工程領(lǐng)域發(fā)展遲緩，經(jīng)過近期多位學(xué)者的努力，也取得了較大的成就，系統(tǒng)的得出了一些計算方法和基本理論，為以后的發(fā)展鋪平了道路。借助計算機軟件Rocscience 軟件，通過對深部煤層巷道 的巖體邊界穩(wěn)定性進行分析，通過選擇施壓角度、各點線受力分析、水平及垂直方向的應(yīng)力位移，采用數(shù)值統(tǒng)計得出受力位移曲線，進而對煤巖體穩(wěn)定性進行分析。 本章設(shè)計思路：首先建立邊界積分方程，然后對 一般問題進行推廣，最后介紹Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式，從而對邊界元方程進行理論研究。V 上任意一點的調(diào)和方程的解，積分方程為（即邊界變量的表達式）： ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ,()sssPqP P q q q d S q P Vn n q??? ? ?????? ? ? ?????? 39。 ) ( ) ( 。V 內(nèi)趨于邊界點 p，如圖 所示。 )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( 。 )( ) l im ( ) l im ( 。 不難得證，對于光滑邊界， ( ) 1/2cp? ，而對角點 p 則 ( ) / (4 )cp ??? ， ? 為角點處在域內(nèi)一側(cè)度量的立體角（即內(nèi)角）的弧度數(shù)。 ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。對于邊界每點有一個邊界未知量： S? 上的 ()qn???或者 gS 上 的 ()q? 。建立了這樣的邊界積分方程， 這種方法通過設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問題的需要 可以通過設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量 ，這樣我們逐步進行求解： 通過設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問題的需要可以通過設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量 。從更有普遍意義（即適用于許多不同問題邊界積分方程的建立）的角度來看，建立邊界積分方程的過程可以看成：算子的基本方法不需建立權(quán)函數(shù)作為算子基本解，按照加權(quán)余量法的基本方法建立邊界積分方程；建立方程后應(yīng)用 Gauss 方法把邊界積分和域內(nèi)積分進行相關(guān)鏈接，進而得到，求解域內(nèi)域點 P 的解，然后我們再用邊界變量表示；再得到方程最后將基本解點 P（所謂奇異點）趨于邊界點 p ，得到邊界積分方程。 對于二維位勢問題，可以用同樣的方法由二維 Laplace 方程出發(fā)來導(dǎo)出相應(yīng)的邊界積分方程。 )( ) ( 。 )( ) ( ) ( 。 ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。 ) ln2 ( , )s apq r p q? ?? （ ）