【正文】 消去零因子。 21 求)1sin( 1lim21 ???? xxx． 解： )1sin( 1lim21 ???? xxx= 2)11(1)1.()1s i n( )1(l i m 1 ??????????? xxxx 22 ? ?21 sin 1lim 1x xx? ?? 解： 2111 11)1( 1.)1( )1s i n(l i m1 )1s i n(l i m 121 ?????? ???? ?? xx xx x xx 23)3sin( 34lim23 ???? xxxx 解： 2)1(l i m)3s i n( )1)(3(l i m)3s i n( 34l i m 3323 ???????? ????? xxxxx xxxxx 類(lèi)型 3： 因式分解 并 消去零因子 ，再計(jì)算極限 31 45 86lim224 ????? xxxxx 解： 45 86lim224 ????? xxxxx= ??? ??? )1)(4( )2)(4(lim4 xx xxx 3212lim4 ???? xxx 32 223 6lim 12x xxxx?? ???? ? ? ? ?? ? ? ?223 3 3326 2 5l im l im l im1 2 3 4 4 7x x xxxx x xx x x x x? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 33 4 23lim 222 ? ??? x xxx 解 4121l i m)2)(2( )1)(2(l i m4 23l i m 22222 ?????? ???? ????? xxxx xxx xxxxx 其他： 0s i n21l i ms i n 11l i m2020 ?????? xxxx xx ， 221s i nl i m11s i nl i m 00 ???? ?? xx x xx ??? ???? 54 56lim 22 xx xxx 1lim 22 ??? xxx ， ?????? 543 62lim 2 2 xx xxx 3232lim 22 ??? xxx （ 0807 考題） 計(jì)算 xxx 4sin8tanlim0?． 解： xxx 4sin8tanlim0?= 248.4sin8ta nlim0 ???xxxxx （ 0801 考題 . ） 計(jì)算 xxx 2sinlim0?． 解 ?? xxx 2sinlim0 21sinlim210 ?? xxx （ 0707 考題 .）)1sin( 32lim21 ????? xxxx= 4)31(1)1s i n( )3).(1(l i m 1 ??????? ???? x xxx （ 二 ） 求 函數(shù)的 導(dǎo)數(shù) 和微分（ 1 小題， 11 分） （ 1）利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 vuvu ?????? )( vuvuuv ?????)( （ 2）利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 xx 1)(ln ?? 1)( ??? aa axx xx ee ??)( uee uu ??? .)( xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin?????????? xexeexexeexexeexxxxxxxxxs i n).( c o s)(c o s).( s i n)(2).()(c o sc o sc o ss ins ins in2 222????????????? xxxxx eeeeexxxxxuuuc o s).(c o s)( s i nc o s2).(c o s)( s i n.c o s)( s i n2222??????????? xxxx eeeeexxxxxuuus i n).(s i n)( c o ss i n2)(s i n)( c o s.s i n)( c o s2222???????????????? 類(lèi)型 1： 加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后乘法求導(dǎo) ； 括 號(hào)求導(dǎo)最后計(jì)算 。 解：xexxexexey xxxx s i nc os2)(c osc os)( 2222 ??????? 其他： x xy x cos2 ?? ， 求 y? 。 21（ 0801 考題） 某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為 V 的有蓋圓柱形容器，問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ？ 解：設(shè)容器的底半徑為 r ，高為 h ，則其 容積22 .,.. rVhhrV ?? ?? 表面積為 rVrrhrS 2π2π2π2 22 ???? 22π4 rVrS ???， 由 0??S 得3 π2Vr?，此時(shí)3 π42 Vrh ??。 一體積為 V 的圓柱體，問(wèn)底半徑 與高各為多少時(shí)表面積最小 ？ 解： 本題的解法 和l 6 結(jié)果 與 21 完全相同 。 22 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？（ 0707 考題 ） 解： 設(shè)底 邊的邊長(zhǎng) 為 x ，高為 h ， 用材料為 y ，由已知 322 ??Vhx ，2xVh?， 表面積 xVxxhxy 44 22 ???? ， 令 0422 ???? xVxy，得 6423 ?? Vx ， 此時(shí) ,4?x2xVh?=2 由實(shí)際問(wèn)題可知， 4?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以 當(dāng) 4?x ， 2?h 時(shí)用料最省 。 類(lèi)型 3 求 求曲線 kxy ?2 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) )0,(aA 的距離最短． 曲線 kxy ?2 上的點(diǎn)到點(diǎn) )0,(aA 的距離平方為kxaxyaxL ?????? 222 )()( 0)(2 ????? kaxL ， kax ??22 31 在拋物線 xy 42 ? 上求一點(diǎn)，使其與 x 軸上的點(diǎn) )0,3(A 的距離最短 ． 解：設(shè)所求點(diǎn) P（ x， y），則滿(mǎn)足 xy 42 ? ，點(diǎn) P 到點(diǎn) A 的距離之平方為 xxyxL 4)3()3( 222 ?????? 令 04)3(2 ????? xL ，解得 1?x 是唯一駐點(diǎn)，易知 1?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn)， 當(dāng) 1?x 時(shí)， 2?y 或 2??y ，所以滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)點(diǎn)（ 1， 2）和（ 1，－ 2） 32 求曲線 xy 22 ? 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) )0,2(A 的距離最短． 解： 曲線 xy 22? 上 的點(diǎn)到點(diǎn) A （ 2 ， 0 ） 的距離 之平方 為xxyxL 2)2()2( 222 ?????? 令 02)2(2 ????? xL ，得 1?x ， 由此 222 ?? xy ， 2??y 即曲線 xy 22? 上的點(diǎn)（ 1， 2 ）和（ 1， 2? ）到點(diǎn) A（ 2， 0）的距離最短。 解： 曲線 2xy? 上的 點(diǎn) 到點(diǎn) A （ 0 ， 2 ） 的 距 離 公 式 為 222 )2()2( ?????? yyyxd d 與 2d 在同一點(diǎn)取到最大值，為計(jì)算方便求 2d 的最大值點(diǎn)， 22 )2( ??? yyd 32)2(21)( 2 ?????? yyd 令 0)( 2 ??d 得23?y，并由此解出 26??x ， 即曲線 2xy? 上的 點(diǎn)（ 23,26 ）和點(diǎn)（ 23,26? ）到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離最短 高等數(shù)學(xué)（ 1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy? 中符號(hào) f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性 。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱(chēng)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類(lèi)型： ① 常數(shù)函數(shù)： cy? ② 冪函數(shù)： )( 為實(shí)數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù)： )1,0( ??? aaay x ④ 對(duì)數(shù)函數(shù)： )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù)： xxxx c o t,tan,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù)： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s i n ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函 數(shù)和冪函數(shù)的和。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf，則 f x( )? 。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln(1)(的定義域是 。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?]5,3()3,2( ? 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域?yàn)?]e,1[ 。 解：要使 392??? xxy有意義，必須滿(mǎn)足 092 ??x 且 03??x ，即 ??? ??33xx成立，解不等式方程組，得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 解： )(xf 的定義域?yàn)?),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3； D. f xxx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解： A 中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 ， B, D 三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng) C 正確。 ＝ x； 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對(duì)任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 3．設(shè)函數(shù) fx() 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 數(shù) 解： A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿(mǎn)足。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx ????????????? ???? 所以 B 正確。 解：因?yàn)?2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項(xiàng) B 正確。 ⒉理解無(wú)窮小量的概念；了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系；知道無(wú)窮小量的比較。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè) 重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 間斷點(diǎn)的分類(lèi)： 已知點(diǎn) 0xx? 是的間斷點(diǎn)， 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限都存在，則 0xx? 稱(chēng)為 )(xf 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)； 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限有一個(gè)不存在，則 0xx? 稱(chēng)為 )(xf 的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 ⒉函數(shù) ?????????0101s in)(xxxxxxf的間斷點(diǎn)是 x? 。 因?yàn)? 1)0(1)1(l i m01s i nl i m00 ???? ?? ?? fxxx xx 所以函數(shù) )(xf 在 0?x 處是間斷的， 又 )(xf 在 )